MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri2or2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri2or2 5861
Description: A trichotomy law for ordinal classes. (Contributed by NM, 2-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordtri2or2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem ordtri2or2
StepHypRef Expression
1 ordtri2or 5860 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 ordelss 5777 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
32ex 449 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43orim1d 902 . . 3 (Ord 𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
54adantl 481 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
61, 5mpd 15 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  wcel 2030  wss 3607  Ord word 5760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764
This theorem is referenced by:  ordtri2or3  5862  ordssun  5865  ordequn  5866  ordunpr  7068  ackbij2  9103  sornom  9137  fin23lem23  9186  isf32lem2  9214  fpwwe2lem10  9499  noextendseq  31945  hfun  32410
  Copyright terms: Public domain W3C validator