Theorem ordtri4 6230

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 1-Nov-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri4	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3984	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordtri1 6226	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	3	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)))
5	1, 4	syl5bb 285	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  Ord word 6192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196

This theorem is referenced by:  carduni  9412  alephfp  9536