Theorem ornglmulle 30085

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
orngmulle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmulle.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
orngmulle.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmulle	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmulle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngogrp 30081	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oGrp)
4		isogrp 29982	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
5	4	simprbi 483	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oMnd)
7		orngring 30080	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		ringgrp 18723	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
11		ornglmullt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		ornglmullt.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	grpidcl 17622	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15		ornglmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		ornglmullt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		ornglmullt.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	ringcl 18732	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	8, 15, 16, 18	syl3anc 1463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20		ornglmullt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	11, 17	ringcl 18732	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	8, 15, 20, 21	syl3anc 1463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23		eqid 2748	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	11, 23	grpsubcl 17667	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
25	10, 19, 22, 24	syl3anc 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
26		orngmulle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
27	11, 23	grpsubcl 17667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
28	10, 16, 20, 27	syl3anc 1463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
29	11, 12, 23	grpsubid 17671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
30	10, 20, 29	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) = 0 )
31		orngmulle.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
32		orngmulle.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
33	11, 32, 23	ogrpsub 29997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
34	3, 20, 16, 20, 31, 33	syl131anc 1476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅)𝑋) ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
35	30, 34	eqbrtrrd 4816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))
36	11, 32, 12, 17	orngmul 30083	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑍) ∧ ((𝑌(-g‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝑌(-g‘𝑅)𝑋))) → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
37	1, 15, 26, 28, 35, 36	syl122anc 1472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)))
38	11, 17, 23, 8, 15, 16, 20	ringsubdi 18770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑋)) = ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
39	37, 38	breqtrd 4818	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
40		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	11, 32, 40	omndadd 29986	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ ((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
42	6, 14, 25, 22, 39, 41	syl131anc 1476	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) ≤ (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)))
43	11, 40, 12	grplid 17624	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
44	10, 22, 43	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑋))
45	11, 40, 23	grpnpcan 17679	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
46	10, 19, 22, 45	syl3anc 1463	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋))(+g‘𝑅)(𝑍 · 𝑋)) = (𝑍 · 𝑌))
47	42, 44, 46	3brtr3d 4823	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≤ (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  +_gcplusg 16114  ._rcmulr 16115  lecple 16121  0_gc0g 16273  Grpcgrp 17594  -_gcsg 17596  Ringcrg 18718  oMndcomnd 29977  oGrpcogrp 29978  oRingcorng 30075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-omnd 29979  df-ogrp 29980  df-orng 30077

This theorem is referenced by:  ornglmullt  30087