Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvccel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvccel 30305
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
orvccel.2 (𝜑𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orvccel.5 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
orvccel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvccel
StepHypRef Expression
1 orvccel.1 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
2 orvccel.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 orvccel.3 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4 orvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
51, 2, 3, 4orvcval4 30303 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}))
62sgsiga 29986 . . 3 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
7 cldssbrsiga 30031 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Clsd‘𝐽) ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9 orvccel.5 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (Clsd‘𝐽))
108, 9sseldd 3584 . . 3 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
111, 6, 3, 10mbfmcnvima 30100 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
125, 11eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  {crab 2911  wss 3555   cuni 4402   class class class wbr 4613  ccnv 5073  ran crn 5075  cima 5077  cfv 5847  (class class class)co 6604  Topctop 20617  Clsdccld 20730  sigAlgebracsiga 29951  sigaGencsigagen 29982  MblFnMcmbfm 30093  RV/𝑐corvc 30298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-ac 8883  df-cda 8934  df-top 20621  df-cld 20733  df-siga 29952  df-sigagen 29983  df-mbfm 30094  df-orvc 30299
This theorem is referenced by:  orrvccel  30309
  Copyright terms: Public domain W3C validator