Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcgteel 30503
 Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcgteel.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcgteel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 orvcgteel.2 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvcgteel.3 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
53adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 brcnvg 5292 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
87pm5.32da 672 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)))
9 rexr 10070 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109ad2antrl 763 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐴𝑥)
12 ltpnf 11939 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1312ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥 < +∞)
1411, 13jca 554 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → (𝐴𝑥𝑥 < +∞))
1510, 14jca 554 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)))
16 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
173adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 simprrl 803 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝐴𝑥)
19 simprrr 804 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 < +∞)
20 xrre3 11987 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221, 18jca 554 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥))
2315, 22impbida 876 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))))
248, 23bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))))
2524rabbidva2 3181 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
263rexrd 10074 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 10077 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
28 icoval 12198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
2926, 27, 28sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
3025, 29eqtr4d 2657 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31 icopnfcld 22552 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
323, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3330, 32eqeltrd 2699 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
341, 2, 3, 33orrvccel 30502 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {crab 2913   class class class wbr 4644  ◡ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℝcr 9920  +∞cpnf 10056  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  (,)cioo 12160  [,)cico 12162  topGenctg 16079  Clsdccld 20801  Probcprb 30443  rRndVarcrrv 30476  ∘RV/𝑐corvc 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-ac 8924  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-topgen 16085  df-top 20680  df-bases 20731  df-cld 20804  df-esum 30064  df-siga 30145  df-sigagen 30176  df-brsiga 30219  df-meas 30233  df-mbfm 30287  df-prob 30444  df-rrv 30477  df-orvc 30492 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator