Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteel 29669
 Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvclteel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvclteel.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 rexr 9839 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
54ad2antrl 759 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 mnflt 11703 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
76ad2antrl 759 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → -∞ < 𝑥)
8 simprr 791 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
97, 8jca 552 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))
105, 9jca 552 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)))
11 simprl 789 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
123adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 simprrl 799 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → -∞ < 𝑥)
14 simprrr 800 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥𝐴)
15 xrre 11742 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1716, 14jca 552 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴))
1810, 17impbida 872 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))))
1918rabbidva2 3066 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
20 mnfxr 11692 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
213rexrd 9843 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 iocval 11951 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
2320, 21, 22sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
2419, 23eqtr4d 2551 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25 iocmnfcld 22289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
263, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2724, 26eqeltrd 2592 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
281, 2, 3, 27orrvccel 29663 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  {crab 2804   class class class wbr 4481  dom cdm 4932  ran crn 4933  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425  ℝcr 9689  -∞cmnf 9826  ℝ*cxr 9827   < clt 9828   ≤ cle 9829  (,)cioo 11914  (,]cioc 11915  topGenctg 15803  Clsdccld 20531  Probcprb 29604  rRndVarcrrv 29637  ∘RV/𝑐corvc 29652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296  ax-ac2 9043  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-2o 7323  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-sup 8106  df-inf 8107  df-oi 8173  df-card 8523  df-acn 8526  df-ac 8697  df-cda 8748  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-q 11530  df-ioo 11918  df-ioc 11919  df-topgen 15809  df-top 20422  df-bases 20423  df-cld 20534  df-esum 29214  df-siga 29295  df-sigagen 29326  df-brsiga 29369  df-meas 29383  df-mbfm 29437  df-prob 29605  df-rrv 29638  df-orvc 29653 This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  29671  dstfrvinc  29673  dstfrvclim1  29674
 Copyright terms: Public domain W3C validator