MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth 25373
Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on . Any such absolute value must either be the trivial absolute value 𝐾, a constant exponent 0 < 𝑎 ≤ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
ostth (𝐹𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦   𝑔,𝑎,𝐽,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎   𝑔,𝑞,𝐹,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑄(𝑔,𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑔,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 padic.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4 ostth.k . . . . . 6 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
5 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝐹𝐴)
6 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
76ltnri 10184 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 1
8 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
91qrng1 25356 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (1r𝑄)
101qrng0 25355 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑄)
112, 9, 10abv1z 18880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
128, 11mpan2 707 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
1312breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (1 < (𝐹‘1) ↔ 1 < 1))
147, 13mtbiri 316 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → ¬ 1 < (𝐹‘1))
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ¬ 1 < (𝐹‘1))
16 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 1 < (𝐹𝑛))
17 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
1817breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘1)))
1916, 18syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (𝑛 = 1 → 1 < (𝐹‘1)))
2015, 19mtod 189 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ¬ 𝑛 = 1)
21 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22 elnn1uz2 11803 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2321, 22sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2423ord 391 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → (¬ 𝑛 = 1 → 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
2520, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
26 eqid 2651 . . . . . 6 ((log‘(𝐹𝑛)) / (log‘𝑛)) = ((log‘(𝐹𝑛)) / (log‘𝑛))
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 25371 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < (𝐹𝑛))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
2827rexlimdvaa 3061 . . . 4 (𝐹𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
29 3mix2 1251 . . . 4 (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
3028, 29syl6 35 . . 3 (𝐹𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
31 ralnex 3021 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛))
32 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹𝐴)
33 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
34 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
3534breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑘)))
3635notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑘)))
3736cbvralv 3201 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
3833, 37sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
39 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
41 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 -((log‘(𝐹𝑝)) / (log‘𝑝)) = -((log‘(𝐹𝑝)) / (log‘𝑝))
42 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 if((𝐹𝑝) ≤ (𝐹𝑧), (𝐹𝑧), (𝐹𝑝)) = if((𝐹𝑝) ≤ (𝐹𝑧), (𝐹𝑧), (𝐹𝑝))
431, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42ostth3 25372 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
4443expr 642 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑝) < 1 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
4544reximdva 3046 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
461, 2, 3padicabvf 25365 . . . . . . . . . . 11 𝐽:ℙ⟶𝐴
47 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℙ⟶𝐴𝐽 Fn ℙ)
48 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝑔𝑦) = ((𝐽𝑝)‘𝑦))
4948oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐽𝑝) → ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
5049mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5150eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐽𝑝) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
5251rexrn 6401 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Fn ℙ → (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎))))
5346, 47, 52mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5453rexbii 3070 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
55 rexcom 3128 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
5654, 55bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
57 3mix3 1252 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
5856, 57sylbir 225 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
5945, 58syl6 35 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
60 ralnex 3021 . . . . . . 7 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1)
61 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹𝐴)
62 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
6362, 37sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑘))
64 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)
65 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑘 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑘))
6665breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑘 → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ (𝐹𝑘) < 1))
6766notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑘 → (¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ¬ (𝐹𝑘) < 1))
6867cbvralv 3201 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 ↔ ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑘) < 1)
6964, 68sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → ∀𝑘 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑘) < 1)
701, 2, 3, 4, 61, 63, 69ostth1 25367 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝐹 = 𝐾)
71703mix1d 1256 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
7271expr 642 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7360, 72syl5bir 233 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐹𝑝) < 1 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7459, 73pm2.61d 170 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
7574ex 449 . . . 4 (𝐹𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7631, 75syl5bir 233 . . 3 (𝐹𝐴 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ 1 < (𝐹𝑛) → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)))))
7730, 76pm2.61d 170 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
78 id 22 . . . 4 (𝐹 = 𝐾𝐹 = 𝐾)
791qdrng 25354 . . . . 5 𝑄 ∈ DivRing
801qrngbas 25353 . . . . . 6 ℚ = (Base‘𝑄)
812, 80, 10, 4abvtriv 18889 . . . . 5 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
8279, 81ax-mp 5 . . . 4 𝐾𝐴
8378, 82syl6eqel 2738 . . 3 (𝐹 = 𝐾𝐹𝐴)
841, 2qabsabv 25363 . . . . . 6 (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
85 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
8685oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
8786mpteq2ia 4773 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎))
8887eqcomi 2660 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑎))
892, 80, 88abvcxp 25349 . . . . . 6 (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴𝑎 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
9084, 89mpan 706 . . . . 5 (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
91 eleq1 2718 . . . . 5 (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
9290, 91syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝑎 ∈ (0(,]1) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴))
9392rexlimiv 3056 . . 3 (∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
941, 2, 3padicabvcxp 25366 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
9594ancoms 468 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴)
96 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∈ 𝐴))
9795, 96syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴))
9897rexlimivv 3065 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℙ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑝)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
9954, 98sylbi 207 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎)) → 𝐹𝐴)
10083, 93, 993jaoi 1431 . 2 ((𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))) → 𝐹𝐴)
10177, 100impbii 199 1 (𝐹𝐴 ↔ (𝐹 = 𝐾 ∨ ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ∨ ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ran 𝐽 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((𝑔𝑦)↑𝑐𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cuz 11725  cq 11826  +crp 11870  (,]cioc 12214  cexp 12900  abscabs 14018  cprime 15432   pCnt cpc 15588  s cress 15905  DivRingcdr 18795  AbsValcabv 18864  fldccnfld 19794  logclog 24346  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator