MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 26136
Description: - Lemma for ostth 26142: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 19529 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 26130 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth1.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth1.3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostth.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
41qdrng 26123 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 26122 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
61qrng0 26124 . . . 4 0 = (0g𝑄)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 19541 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (𝜑𝐾𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
1110r19.21bi 3205 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹𝑛) < 1)
12 prmnn 16006 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1413r19.21bi 3205 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1512, 14sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
16 nnq 12349 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
182, 5abvcl 19524 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
20 1re 10629 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 10712 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2219, 20, 21sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2311, 15, 22mpbir2and 709 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = 1)
2412adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4485 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 10623 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 10625 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4511 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 11659 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3332neneqd 3018 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4474 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2853 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾𝑛) = 1)
3723, 36eqtr4d 2856 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = (𝐾𝑛))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 26131 1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  -cneg 10859  cn 11626  cq 12336  cexp 13417  cprime 16003   pCnt cpc 16161  s cress 16472  DivRingcdr 19431  AbsValcabv 19516  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by:  ostth  26142
  Copyright terms: Public domain W3C validator