MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 25066
Description: - Lemma for ostth 25072: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 18600 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 25060 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth1.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth1.3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostth.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
41qdrng 25053 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 25052 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
61qrng0 25054 . . . 4 0 = (0g𝑄)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 18612 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (𝜑𝐾𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
1110r19.21bi 2915 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹𝑛) < 1)
12 prmnn 15174 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1413r19.21bi 2915 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1512, 14sylan2 489 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
16 nnq 11635 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
182, 5abvcl 18595 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 492 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
20 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 9972 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2219, 20, 21sylancl 692 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2311, 15, 22mpbir2and 958 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = 1)
2412adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 eqeq1 2613 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4057 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 9890 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 9891 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4105 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6175 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 10902 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3332neneqd 2786 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4046 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2643 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾𝑛) = 1)
3723, 36eqtr4d 2646 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = (𝐾𝑛))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 25061 1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  -cneg 10118  cn 10869  cq 11622  cexp 12679  cprime 15171   pCnt cpc 15327  s cress 15644  DivRingcdr 18518  AbsValcabv 18587  fldccnfld 19515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-ico 12010  df-fz 12155  df-seq 12621  df-exp 12680  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-dvds 14770  df-prm 15172  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-0g 15873  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-subg 17362  df-cmn 17966  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-cring 18321  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-subrg 18549  df-abv 18588  df-cnfld 19516
This theorem is referenced by:  ostth  25072
  Copyright terms: Public domain W3C validator