Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem1 25352
 Description: Lemma for ostth2 25371, although it is just a simple statement about exponentials which does not involve any specifics of ostth2 25371. If a power is upper bounded by a linear term, the exponent must be less than one. Or in big-O notation, 𝑛 ∈ 𝑜(𝐴↑𝑛) for any 1 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ostth2lem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ostth2lem1.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ostth2lem1.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem1 (𝜑𝐴 ≤ 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem ostth2lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11128 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 ostth2lem1.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 remulcl 10059 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
7 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ostth2lem1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 difrp 11906 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
117, 9, 10sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℝ+))
126, 11mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ+)
135, 12rerpdivcld 11941 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
14 expnbnd 13033 . . . 4 ((((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
1513, 9, 6, 14syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
16 nnnn0 11337 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 reexpcl 12917 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
189, 16, 17syl2an 493 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
1913adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
2012rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
22 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
2524, 18remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
268ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 2nn 11223 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
28 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 nnmulcl 11081 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
3027, 28, 29sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
31 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
3326, 32reexpcld 13065 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
3430nnred 11073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
352ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3634, 35remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · 𝐵) ∈ ℝ)
37 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
39 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
4137, 38, 9, 40, 6lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
429, 41elrpd 11907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43 nnz 11437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
44 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
4542, 43, 44syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
46 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
4724, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
4824ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1))
4916adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5042adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5150rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
52 bernneq2 13031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴𝑘))
5326, 49, 51, 52syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐴𝑘))
5424, 47, 18, 48, 53ltletrd 10235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · 𝑘) < (𝐴𝑘))
5524, 18, 45, 54ltmul1dd 11965 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
5623recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
57562timesd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
5857oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)))
5926recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6059, 49, 49expaddd 13050 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
6158, 60eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝐴𝑘)))
6255, 61breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < (𝐴↑(2 · 𝑘)))
63 ostth2lem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6463ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
6564ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵))
66 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(2 · 𝑘)))
67 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (2 · 𝑘) → (𝑛 · 𝐵) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
6866, 67breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (2 · 𝑘) → ((𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
6968rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ (𝑛 · 𝐵) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵)))
7030, 65, 69sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(2 · 𝑘)) ≤ ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7125, 33, 36, 62, 70ltletrd 10235 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)) < ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7221recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
7318recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7472, 73, 56mul32d 10284 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) = (((𝐴 − 1) · 𝑘) · (𝐴𝑘)))
75 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
7635recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7775, 76, 56mul32d 10284 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐵) · 𝑘) = ((2 · 𝑘) · 𝐵))
7871, 74, 773brtr4d 4717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘))
7921, 18remulcld 10108 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
805adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
81 nngt0 11087 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
8281adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
83 ltmul1 10911 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
8479, 80, 23, 82, 83syl112anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) · 𝑘) < ((2 · 𝐵) · 𝑘)))
8578, 84mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵))
8612rpgt0d 11913 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 1))
8786adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 − 1))
88 ltmuldiv2 10935 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − 1))) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
8918, 80, 21, 87, 88syl112anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) · (𝐴𝑘)) < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1))))
9085, 89mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) < ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)))
9118, 19, 90ltnsymd 10224 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
9291nrexdv 3030 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ ((2 · 𝐵) / (𝐴 − 1)) < (𝐴𝑘))
9315, 92pm2.65da 599 . 2 (𝜑 → ¬ 1 < 𝐴)
94 lenlt 10154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
958, 7, 94sylancl 695 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐴))
9693, 95mpbird 247 1 (𝜑𝐴 ≤ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℝ+crp 11870  ↑cexp 12900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  ostth2lem4  25370
 Copyright terms: Public domain W3C validator