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Theorem ostth2lem3 25041
Description: Lemma for ostth2 25043. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b2 11593 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
42, 3sylib 206 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
54simpld 473 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnq 11633 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
8 qabsabv.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
9 qrng.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
109qrngbas 25025 . . . . . . 7 ℚ = (Base‘𝑄)
118, 10abvcl 18593 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
121, 7, 11syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1413recnd 9924 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
15 ostth2.7 . . . . . . 7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
16 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2b2 11593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
1917, 18sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2019simpld 473 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 nnq 11633 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
238, 10abvcl 18593 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
241, 22, 23syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
25 ifcl 4079 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2715, 26syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2827adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ)
29 0red 9897 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30 1red 9911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 0lt1 10399 . . . . . . . . . 10 0 < 1
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 1)
33 max2 11851 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3424, 30, 33syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3534, 15syl6breqr 4619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3629, 30, 27, 32, 35ltletrd 10048 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3736adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑇)
3828, 37elrpd 11701 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
3938rpge0d 11708 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑇)
40 ostth2.8 . . . . . . . 8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
415nnred 10882 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
424simprd 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4341, 42rplogcld 24096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
4420nnred 10882 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4519simprd 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4644, 45rplogcld 24096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4743, 46rpdivcld 11721 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ+)
4840, 47syl5eqel 2691 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
4948rpred 11704 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ)
5128, 39, 50recxpcld 24186 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ)
5251recnd 9924 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
5338, 50rpcxpcld 24193 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
5453rpne0d 11709 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐𝑈) ≠ 0)
55 nnnn0 11146 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ0)
5655adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ0)
5714, 52, 54, 56expdivd 12839 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) = (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)))
58 reexpcl 12694 . . . . . 6 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
5912, 55, 58syl2an 492 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
6020adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6160nnred 10882 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
62 nnre 10874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
6362adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6463, 50remulcld 9926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ)
6556nn0ge0d 11201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑋)
6648rpge0d 11708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑈)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑈)
6863, 50, 65, 67mulge0d 10453 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑈))
69 flge0nn0 12438 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑈)) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
7064, 68, 69syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0)
71 peano2nn0 11180 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0)
7372nn0red 11199 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ)
7461, 73remulcld 9926 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7528, 72reexpcld 12842 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 9926 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
77 peano2re 10060 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7850, 77syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
7963, 78remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
8061, 79remulcld 9926 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
8151, 56reexpcld 12842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ)
8281, 28remulcld 9926 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 9926 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) ∈ ℝ)
841adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
857adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
869, 8qabvexp 25032 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
8784, 85, 56, 86syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = ((𝐹𝑁)↑𝑋))
8863recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
8943rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
9089recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9190adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9246rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
9392recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9546adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
9695rpne0d 11709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ≠ 0)
9788, 91, 94, 96divassd 10685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
9840oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 · 𝑈) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
9997, 98syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · 𝑈))
10099oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)))
10188, 91mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
102101, 94, 96divcan1d 10651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
103100, 102eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
104 flltp1 12418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10564, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
10664, 73, 95, 105ltmul1dd 11759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
107103, 106eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
10889adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
10963, 108remulcld 9926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
11092adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
11173, 110remulcld 9926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
112 eflt 14632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
113109, 111, 112syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
114107, 113mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
1155nnrpd 11702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
116 nnz 11232 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
117 reexplog 24062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
118115, 116, 117syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
11960nnrpd 11702 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
12072nn0zd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ)
121 reexplog 24062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
122119, 120, 121syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
123114, 118, 1223brtr4d 4609 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
124 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
1255, 55, 124syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ)
12660, 72nnexpcld 12847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ)
127 nnltlem1 11276 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑋) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
128125, 126, 127syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
129123, 128mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))
130125nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℕ0)
131 nn0uz 11554 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
132130, 131syl6eleq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0))
133126nnzd 11313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ)
134 peano2zm 11253 . . . . . . . . . 10 ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
136 elfz5 12160 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑋) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
137132, 135, 136syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
138129, 137mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
139 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
140 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
141 ostth2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
142 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
143 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
1449, 8, 139, 140, 1, 2, 141, 142, 17, 143, 15ostth2lem2 25040 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
1451443expia 1258 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
14672, 145syldan 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
147138, 146mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14887, 147eqbrtrrd 4601 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
14980, 75remulcld 9926 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
150 peano2re 10060 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
15164, 150syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
15270nn0red 11199 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℝ)
153 1red 9911 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
154 flle 12417 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
15564, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
156152, 64, 153, 155leadd1dd 10490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 1))
157 nnge1 10893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑋)
158157adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑋)
159153, 63, 64, 158leadd2dd 10491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
16050recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℂ)
161153recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
16288, 160, 161adddid 9920 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)))
16388mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
164163oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
165162, 164eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
166159, 165breqtrrd 4605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16773, 151, 79, 156, 166letrd 10045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
16860nngt0d 10911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
169 lemul2 10725 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
17073, 79, 61, 168, 169syl112anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
171167, 170mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
172 expgt0 12710 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
17328, 120, 37, 172syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
174 lemul1 10724 . . . . . . . 8 (((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
17574, 80, 75, 173, 174syl112anc 1321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
176171, 175mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
17728recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
178177, 70expp1d 12826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇))
17935adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑇)
180 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
18149, 62, 180syl2an 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
18288, 160mulcomd 9917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑋))
183155, 182breqtrd 4603 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑈 · 𝑋))
18428, 179, 152, 181, 183cxplead 24184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)))
185 cxpexp 24131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ0) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
186177, 70, 185syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
18738, 50, 88cxpmuld 24197 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋))
188 cxpexp 24131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
18952, 56, 188syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑐𝑋) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
190187, 189eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
191184, 186, 1903brtr3d 4608 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋))
19228, 70reexpcld 12842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ∈ ℝ)
193192, 81, 38lemul1d 11747 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
194191, 193mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
195178, 194eqbrtrd 4599 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
196 nngt0 10896 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 0 < 𝑋)
197196adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑋)
198 0red 9897 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
19948adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
200199rpgt0d 11707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑈)
20150ltp1d 10803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
202198, 50, 78, 200, 201lttrd 10049 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑈 + 1))
20363, 78, 197, 202mulgt0d 10043 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑋 · (𝑈 + 1)))
20461, 79, 168, 203mulgt0d 10043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
205 lemul2 10725 . . . . . . . 8 (((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
20675, 82, 80, 204, 205syl112anc 1321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
207195, 206mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20876, 149, 83, 176, 207letrd 10045 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
20959, 76, 83, 148, 208letrd 10045 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
21080recnd 9924 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℂ)
21181recnd 9924 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℂ)
212210, 211, 177mul12d 10096 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)))
21361recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21479recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℂ)
215213, 214, 177mul32d 10097 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
216213, 177mulcld 9916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℂ)
21778recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℂ)
218216, 88, 217mul12d 10096 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
219215, 218eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
220219oveq2d 6543 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
221212, 220eqtrd 2643 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
222209, 221breqtrd 4603 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
22361, 28remulcld 9926 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
224223, 78remulcld 9926 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
22563, 224remulcld 9926 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
226116adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
22753, 226rpexpcld 12849 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ+)
22859, 225, 227ledivmuld 11757 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝐹𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))))
229222, 228mpbird 245 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑𝑋) / ((𝑇𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
23057, 229eqbrtrd 4599 1 ((𝜑𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  cq 11620  +crp 11664  ...cfz 12152  cfl 12408  cexp 12677  expce 14577  cprime 15169   pCnt cpc 15325  s cress 15642  AbsValcabv 18585  fldccnfld 19513  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
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