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Theorem ostth2lem3 26205

Description: Lemma for ostth2 26207. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

**Assertion**
Ref	Expression
ostth2lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑_𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑀 𝑥,𝑞,𝜑 𝑥,𝑇 𝑥,𝑈 𝑥,𝑋 𝐴,𝑞,𝑥 𝑥,𝑁 𝑥,𝑄 𝐹,𝑞 𝑅,𝑞 𝑥,𝐹 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑞) 𝑅(𝑥) 𝑆(𝑥,𝑞) 𝑇(𝑞) 𝑈(𝑞) 𝐽(𝑥,𝑞) 𝐾(𝑥,𝑞) 𝑀(𝑞) 𝑁(𝑞) 𝑋(𝑞)

**Proof of Theorem ostth2lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ostth2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		eluz2b2 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	2, 3	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
5	4	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnq 12355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
8		qabsabv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
9		qrng.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
10	9	qrngbas 26189	. . . . . . 7 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
11	8, 10	abvcl 19589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
12	1, 7, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10663	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
15		ostth2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
16		1re 10635	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		ostth2.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
18		eluz2b2 12315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
19	17, 18	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
20	19	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		nnq 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
23	8, 10	abvcl 19589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
24	1, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
25		ifcl 4510	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
27	15, 26	eqeltrid 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
28	27	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ)
29		0red 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
30		1red 10636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31		0lt1 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
33		max2 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
34	24, 30, 33	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	34, 15	breqtrrdi 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
36	29, 30, 27, 32, 35	ltletrd 10794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
37	36	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑇)
38	28, 37	elrpd 12422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
39	38	rpge0d 12429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑇)
40		ostth2.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
41	5	nnred 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
42	4	simprd 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
43	41, 42	rplogcld 25206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
44	20	nnred 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
45	19	simprd 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
46	44, 45	rplogcld 25206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
47	43, 46	rpdivcld 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
48	40, 47	eqeltrid 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
49	48	rpred 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ)
51	28, 39, 50	recxpcld 25300	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℝ)
52	51	recnd 10663	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℂ)
53	38, 50	rpcxpcld 25309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℝ⁺)
54	53	rpne0d 12430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐𝑈) ≠ 0)
55		nnnn0 11898	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ₀)
56	55	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ₀)
57	14, 52, 54, 56	expdivd 13518	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑_𝑐𝑈))↑𝑋) = (((𝐹‘𝑁)↑𝑋) / ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋)))
58		reexpcl 13440	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
59	12, 55, 58	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ∈ ℝ)
60	20	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
61	60	nnred 11647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
62		nnre 11639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
63	62	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
64	63, 50	remulcld 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ)
65	56	nn0ge0d 11952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑋)
66	48	rpge0d 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑈)
67	66	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑈)
68	63, 50, 65, 67	mulge0d 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑈))
69		flge0nn0 13184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑈)) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀)
70	64, 68, 69	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀)
71		peano2nn0 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀)
73	72	nn0red 11950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ)
74	61, 73	remulcld 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
75	28, 72	reexpcld 13521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ)
76	74, 75	remulcld 10665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
77		peano2re 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
78	50, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
79	63, 78	remulcld 10665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
80	61, 79	remulcld 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
81	51, 56	reexpcld 13521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ)
82	81, 28	remulcld 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ)
83	80, 82	remulcld 10665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) ∈ ℝ)
84	9, 8	qabvexp 26196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) = ((𝐹‘𝑁)↑𝑋))
85	1, 7, 55, 84	syl2an3an 1418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) = ((𝐹‘𝑁)↑𝑋))
86	63	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
87	43	rpred 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
88	87	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
89	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
90	46	rpred 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
91	90	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
92	91	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
93	46	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
94	93	rpne0d 12430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ≠ 0)
95	86, 89, 92, 94	divassd 11445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
96	40	oveq2i 7161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 · 𝑈) = (𝑋 · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
97	95, 96	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) = (𝑋 · 𝑈))
98	97	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)))
99	86, 89	mulcld 10655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
100	99, 92, 94	divcan1d 11411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑋 · (log‘𝑁)) / (log‘𝑀)) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
101	98, 100	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) = (𝑋 · (log‘𝑁)))
102		flltp1 13164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
103	64, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) < ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))
104	64, 73, 93, 103	ltmul1dd 12480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) · (log‘𝑀)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
105	101, 104	eqbrtrrd 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))
106	87	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
107	63, 106	remulcld 10665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
108	90	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
109	73, 108	remulcld 10665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
110		eflt 15464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ∈ ℝ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
111	107, 109, 110	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · (log‘𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)) ↔ (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀)))))
112	105, 111	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))) < (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
113	5	nnrpd 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
114		nnz 11998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℤ)
115		reexplog 25172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑁↑𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
116	113, 114, 115	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = (exp‘(𝑋 · (log‘𝑁))))
117	60	nnrpd 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
118	72	nn0zd 12079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ)
119		reexplog 25172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ⁺ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
120	117, 118, 119	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = (exp‘(((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) · (log‘𝑀))))
121	112, 116, 120	3brtr4d 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
122		nnexpcl 13436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℕ)
123	5, 55, 122	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℕ)
124	60, 72	nnexpcld 13600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ)
125		nnltlem1 12043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁↑𝑋) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
126	123, 124, 125	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) < (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
127	121, 126	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))
128	123	nnnn0d 11949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℕ₀)
129		nn0uz 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
130	128, 129	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ (ℤ_≥‘0))
131	124	nnzd 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ)
132		peano2zm 12019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℤ → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134		elfz5 12894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁↑𝑋) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
135	130, 133, 134	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) ↔ (𝑁↑𝑋) ≤ ((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
136	127, 135	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)))
137		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
138		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
139		ostth2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
140		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
141		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
142	9, 8, 137, 138, 1, 2, 139, 140, 17, 141, 15	ostth2lem2 26204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
143	142	3expia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℕ₀) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
144	72, 143	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) ∈ (0...((𝑀↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) − 1)) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
145	136, 144	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁↑𝑋)) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
146	85, 145	eqbrtrrd 5082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
147	80, 75	remulcld 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ∈ ℝ)
148		peano2re 10807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
149	64, 148	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ∈ ℝ)
150	70	nn0red 11950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℝ)
151		1red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
152		flle 13163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 · 𝑈) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
153	64, 152	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑋 · 𝑈))
154	150, 64, 151, 153	leadd1dd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 1))
155		nnge1 11659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑋)
156	155	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑋)
157	151, 63, 64, 156	leadd2dd 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
158	50	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℂ)
159	151	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
160	86, 158, 159	adddid 10659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)))
161	86	mulid1d 10652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
162	161	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + (𝑋 · 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
163	160, 162	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) = ((𝑋 · 𝑈) + 𝑋))
164	157, 163	breqtrrd 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑋 · 𝑈) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
165	73, 149, 79, 154, 164	letrd 10791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)))
166	60	nngt0d 11680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
167		lemul2 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
168	73, 79, 61, 166, 167	syl112anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ≤ (𝑋 · (𝑈 + 1)) ↔ (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1)))))
169	165, 168	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
170		expgt0 13456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
171	28, 118, 37, 170	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))
172		lemul1 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
173	74, 80, 75, 171, 172	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)))))
174	169, 173	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))))
175	28	recnd 10663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑇 ∈ ℂ)
176	175, 70	expp1d 13505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) = ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇))
177	35	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑇)
178		remulcl 10616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
179	49, 62, 178	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 · 𝑋) ∈ ℝ)
180	86, 158	mulcomd 10656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑋))
181	153, 180	breqtrd 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ≤ (𝑈 · 𝑋))
182	28, 177, 150, 179, 181	cxplead 25298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ (𝑇↑_𝑐(𝑈 · 𝑋)))
183		cxpexp 25245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑋 · 𝑈)) ∈ ℕ₀) → (𝑇↑_𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
184	175, 70, 183	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) = (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))))
185	38, 50, 86	cxpmuld 25313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑_𝑐𝑋))
186		cxpexp 25245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇↑_𝑐𝑈) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ₀) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑_𝑐𝑋) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
187	52, 56, 186	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑_𝑐𝑋) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
188	185, 187	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑_𝑐(𝑈 · 𝑋)) = ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
189	182, 184, 188	3brtr3d 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋))
190	28, 70	reexpcld 13521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ∈ ℝ)
191	190, 81, 38	lemul1d 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) ≤ ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ↔ ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
192	189, 191	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑(⌊‘(𝑋 · 𝑈))) · 𝑇) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
193	176, 192	eqbrtrd 5080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))
194		nngt0 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 0 < 𝑋)
195	194	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑋)
196		0red 10638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
197	48	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
198	197	rpgt0d 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < 𝑈)
199	50	ltp1d 11564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
200	196, 50, 78, 198, 199	lttrd 10795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑈 + 1))
201	63, 78, 195, 200	mulgt0d 10789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑋 · (𝑈 + 1)))
202	61, 79, 166, 201	mulgt0d 10789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
203		lemul2 11487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))))) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
204	75, 82, 80, 202, 203	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇) ↔ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇))))
205	193, 204	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
206	76, 147, 83, 174, 205	letrd 10791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · ((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1)) · (𝑇↑((⌊‘(𝑋 · 𝑈)) + 1))) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
207	59, 76, 83, 146, 206	letrd 10791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)))
208	80	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) ∈ ℂ)
209	81	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℂ)
210	208, 209, 175	mul12d 10843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)))
211	61	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
212	79	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑈 + 1)) ∈ ℂ)
213	211, 212, 175	mul32d 10844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))))
214	211, 175	mulcld 10655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℂ)
215	78	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑈 + 1) ∈ ℂ)
216	214, 86, 215	mul12d 10843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑋 · (𝑈 + 1))) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
217	213, 216	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇) = (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
218	217	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · 𝑇)) = (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
219	210, 218	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · (𝑋 · (𝑈 + 1))) · (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · 𝑇)) = (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
220	207, 219	breqtrd 5084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)))))
221	61, 28	remulcld 10665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
222	221, 78	remulcld 10665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
223	63, 222	remulcld 10665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ∈ ℝ)
224	114	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
225	53, 224	rpexpcld 13602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) ∈ ℝ⁺)
226	59, 223, 225	ledivmuld 12478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑𝑋) / ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑁)↑𝑋) ≤ (((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋) · (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))))
227	220, 226	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑𝑋) / ((𝑇↑_𝑐𝑈)↑𝑋)) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
228	57, 227	eqbrtrd 5080	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑_𝑐𝑈))↑𝑋) ≤ (𝑋 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ifcif 4466 class class class wbr 5058 ↦ cmpt 5138 ‘cfv 6349 (class class class)co 7150 ℂcc 10529 ℝcr 10530 0cc0 10531 1c1 10532 + caddc 10534 · cmul 10536 < clt 10669 ≤ cle 10670 − cmin 10864 -cneg 10865 / cdiv 11291 ℕcn 11632 2c2 11686 ℕ₀cn0 11891 ℤcz 11975 ℤ_≥cuz 12237 ℚcq 12342 ℝ⁺crp 12383 ...cfz 12886 ⌊cfl 13154 ↑cexp 13423 expce 15409 ℙcprime 16009 pCnt cpc 16167 ↾_s cress 16478 AbsValcabv 19581 ℂ_fldccnfld 20539 logclog 25132 ↑_𝑐ccxp 25133

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2173 ax-ext 2793 ax-rep 5182 ax-sep 5195 ax-nul 5202 ax-pow 5258 ax-pr 5321 ax-un 7455 ax-inf2 9098 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608 ax-pre-sup 10609 ax-addf 10610 ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3772 df-csb 3883 df-dif 3938 df-un 3940 df-in 3942 df-ss 3951 df-pss 3953 df-nul 4291 df-if 4467 df-pw 4540 df-sn 4561 df-pr 4563 df-tp 4565 df-op 4567 df-uni 4832 df-int 4869 df-iun 4913 df-iin 4914 df-br 5059 df-opab 5121 df-mpt 5139 df-tr 5165 df-id 5454 df-eprel 5459 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5508 df-se 5509 df-we 5510 df-xp 5555 df-rel 5556 df-cnv 5557 df-co 5558 df-dm 5559 df-rn 5560 df-res 5561 df-ima 5562 df-pred 6142 df-ord 6188 df-on 6189 df-lim 6190 df-suc 6191 df-iota 6308 df-fun 6351 df-fn 6352 df-f 6353 df-f1 6354 df-fo 6355 df-f1o 6356 df-fv 6357 df-isom 6358 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-of 7403 df-om 7575 df-1st 7683 df-2nd 7684 df-supp 7825 df-tpos 7886 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-1o 8096 df-2o 8097 df-oadd 8100 df-er 8283 df-map 8402 df-pm 8403 df-ixp 8456 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-fin 8507 df-fsupp 8828 df-fi 8869 df-sup 8900 df-inf 8901 df-oi 8968 df-card 9362 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-div 11292 df-nn 11633 df-2 11694 df-3 11695 df-4 11696 df-5 11697 df-6 11698 df-7 11699 df-8 11700 df-9 11701 df-n0 11892 df-z 11976 df-dec 12093 df-uz 12238 df-q 12343 df-rp 12384 df-xneg 12501 df-xadd 12502 df-xmul 12503 df-ioo 12736 df-ioc 12737 df-ico 12738 df-icc 12739 df-fz 12887 df-fzo 13028 df-fl 13156 df-mod 13232 df-seq 13364 df-exp 13424 df-fac 13628 df-bc 13657 df-hash 13685 df-shft 14420 df-cj 14452 df-re 14453 df-im 14454 df-sqrt 14588 df-abs 14589 df-limsup 14822 df-clim 14839 df-rlim 14840 df-sum 15037 df-ef 15415 df-sin 15417 df-cos 15418 df-pi 15420 df-struct 16479 df-ndx 16480 df-slot 16481 df-base 16483 df-sets 16484 df-ress 16485 df-plusg 16572 df-mulr 16573 df-starv 16574 df-sca 16575 df-vsca 16576 df-ip 16577 df-tset 16578 df-ple 16579 df-ds 16581 df-unif 16582 df-hom 16583 df-cco 16584 df-rest 16690 df-topn 16691 df-0g 16709 df-gsum 16710 df-topgen 16711 df-pt 16712 df-prds 16715 df-xrs 16769 df-qtop 16774 df-imas 16775 df-xps 16777 df-mre 16851 df-mrc 16852 df-acs 16854 df-mgm 17846 df-sgrp 17895 df-mnd 17906 df-submnd 17951 df-grp 18100 df-minusg 18101 df-mulg 18219 df-subg 18270 df-cntz 18441 df-cmn 18902 df-mgp 19234 df-ur 19246 df-ring 19293 df-cring 19294 df-oppr 19367 df-dvdsr 19385 df-unit 19386 df-invr 19416 df-dvr 19427 df-drng 19498 df-subrg 19527 df-abv 19582 df-psmet 20531 df-xmet 20532 df-met 20533 df-bl 20534 df-mopn 20535 df-fbas 20536 df-fg 20537 df-cnfld 20540 df-top 21496 df-topon 21513 df-topsp 21535 df-bases 21548 df-cld 21621 df-ntr 21622 df-cls 21623 df-nei 21700 df-lp 21738 df-perf 21739 df-cn 21829 df-cnp 21830 df-haus 21917 df-tx 22164 df-hmeo 22357 df-fil 22448 df-fm 22540 df-flim 22541 df-flf 22542 df-xms 22924 df-ms 22925 df-tms 22926 df-cncf 23480 df-limc 24458 df-dv 24459 df-log 25134 df-cxp 25135

This theorem is referenced by: ostth2lem4 26206

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