MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 25370
Description: Lemma for ostth2 25371. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
2 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
5 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 nnq 11839 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1211qrngbas 25353 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
1310, 12abvcl 18872 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
15 ltnle 10155 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
162, 14, 15sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
171, 16mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
20 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
23 nnq 11839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
2510, 12abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
27 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2918, 28syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 10079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
34 max2 12056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3526, 2, 34sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3635, 18syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 11907 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
407nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4222nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 24420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
4639, 45syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 24521 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 11941 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 10247 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 25369 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 25352 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 11963 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1)))
6058, 59mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1))
6147rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
6261mulid1d 10095 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑐𝑈) · 1) = (𝑇𝑐𝑈))
6360, 62breqtrd 4711 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
65 iftrue 4125 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = 1)
6618, 65syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
6766oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → (𝑇𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
6846recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
69681cxpd 24498 . . . . . 6 (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝑇𝑐𝑈) = 1)
7164, 70breqtrd 4711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ 1)
7217, 71mtand 692 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1)
73 ltnle 10155 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
742, 26, 73sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
7572, 74mpbird 247 . 2 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑀))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 10236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑁))
7714, 76elrpd 11907 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 24415 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) = (𝐹𝑁))
79 iffalse 4128 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = (𝐹𝑀))
8018, 79syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹𝑀))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (𝐹𝑀))
8281oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) = ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈))
8326recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 10236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑀))
8526, 84elrpd 11907 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 11915 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0)
8783, 86, 68cxpefd 24503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
8882, 87eqtr2d 2686 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))) = (𝑇𝑐𝑈))
8963, 78, 883brtr4d 4717 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
9077relogcld 24414 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
9185relogcld 24414 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 10108 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ)
93 efle 14892 . . . . . . 7 (((log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9490, 92, 93syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9589, 94mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
9641recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9791recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
9844rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9944rpne0d 11915 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
10096, 97, 98, 99div12d 10875 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
10139oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102100, 101syl6eqr 2703 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈))
10397, 68mulcomd 10099 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
104102, 103eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
10595, 104breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))))
10691, 44rerpdivcld 11941 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
1077nnred 11073 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 24420 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 11963 . . . 4 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111105, 110mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))
112111, 55, 563brtr4g 4719 . 2 (𝜑𝑅𝑆)
11375, 112jca 553 1 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cuz 11725  cq 11826  cexp 12900  expce 14836  cprime 15432   pCnt cpc 15588  s cress 15905  AbsValcabv 18864  fldccnfld 19794  logclog 24346  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  ostth2  25371
  Copyright terms: Public domain W3C validator