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Theorem ostth3 25372
Description: - Lemma for ostth 25373: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth3.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth3.3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
ostth3.5 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
ostth3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑝,𝑦   𝑆,𝑎   𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑄,𝑛,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem ostth3
Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth3.5 . . . 4 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
2 ostth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 prmuz2 15455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
75, 6sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
87simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 nnq 11839 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
11 qabsabv.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12 qrng.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1312qrngbas 25353 . . . . . . . . . 10 ℚ = (Base‘𝑄)
1411, 13abvcl 18872 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
152, 10, 14syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
168nnne0d 11103 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1712qrng0 25355 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
1811, 13, 17abvgt0 18876 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑃))
192, 10, 16, 18syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑃))
2015, 19elrpd 11907 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
2120relogcld 24414 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℝ)
228nnred 11073 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
237simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑃)
2422, 23rplogcld 24420 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
2521, 24rerpdivcld 11941 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
2625renegcld 10495 . . . 4 (𝜑 → -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
271, 26syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 ostth3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
29 1rp 11874 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
30 logltb 24391 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3120, 29, 30sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3228, 31mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1))
33 log1 24377 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3432, 33syl6breq 4726 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < 0)
3524rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
3635mul01d 10273 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
3734, 36breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3921, 38, 24ltdivmuld 11961 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
4037, 39mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
4125lt0neg1d 10635 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
4240, 41mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
4342, 1syl6breqr 4727 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4427, 43elrpd 11907 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
45 padic.j . . . . 5 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4612, 11, 45padicabvcxp 25366 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
473, 44, 46syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑃))
4948oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
50 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
51 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6321 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5310, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5445padicval 25351 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
553, 10, 54syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
5616neneqd 2828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
5756iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
588nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5958exp1d 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
6059oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
62 pcid 15624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
633, 61, 62sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
6460, 63eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
6564negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
6665oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67 neg1z 11451 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
6958, 16, 68cxpexpzd 24502 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑐-1) = (𝑃↑-1))
7066, 69eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃𝑐-1))
7155, 57, 703eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = (𝑃𝑐-1))
7271oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
7327recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7473mulm1d 10520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
751negeqi 10312 . . . . . . . . . . 11 -𝑅 = --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
7625recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
7776negnegd 10421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7875, 77syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7974, 78eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
8079oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
818nnrpd 11908 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
82 neg1rr 11163 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
8481, 83, 73cxpmuld 24525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
8558, 16, 76cxpefd 24503 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
8621recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
8724rpne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
8886, 35, 87divcan1d 10840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹𝑃)))
8988fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑃))))
9020reeflogd 24415 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑃))) = (𝐹𝑃))
9185, 89, 903eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹𝑃))
9280, 84, 913eqtr3d 2693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑃))
9353, 72, 923eqtrrd 2690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃))
94 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑝))
95 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
9694, 95eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9793, 96syl5ibcom 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9897adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
99 prmnn 15435 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
10099ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101 nnq 11839 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑝))
104103oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
105 ovex 6718 . . . . . . . 8 (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) ∈ V
106104, 50, 105fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
10873ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
1091081cxpd 24498 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (1↑𝑐𝑅) = 1)
1103ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
11145padicval 25351 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112110, 102, 111syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113100nnne0d 11103 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114113neneqd 2828 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115114iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116 pceq0 15622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
1173, 99, 116syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
118 dvdsprm 15462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
1195, 118sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
120119necon3bbid 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑝𝑃𝑝))
121117, 120bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃𝑝))
122121biimpar 501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123122negeqd 10313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124 neg0 10365 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
125123, 124syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126125oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
12758ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128127exp0d 13042 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129126, 128eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130112, 115, 1293eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = 1)
131130oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (1↑𝑐𝑅))
132 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134 ostth3.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
1352ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝐹𝐴)
13611, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
137135, 102, 136syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
13811, 13, 17abvgt0 18876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑝))
139135, 102, 113, 138syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 0 < (𝐹𝑝))
140137, 139elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
141140adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
14220ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
143141, 142ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) ∈ ℝ+)
144134, 143syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
145144rprecred 11921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
14728ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) < 1)
148 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑝) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
149 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
150148, 149ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑝) < 1 ∧ (𝐹𝑃) < 1) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
151146, 147, 150syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
152134, 151syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153144reclt1d 11923 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154152, 153mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155 expnbnd 13033 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156133, 145, 154, 155syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157144rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159144rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163158, 160, 162exprecd 13056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆𝑘)))
1642ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
165 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
16612qrng1 25356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (1r𝑄)
16711, 166, 17abv1z 18880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168164, 165, 167sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
1698ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
171 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
172169, 170, 171syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
173172nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
17499ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
176174, 170, 175syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
177176nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
178 bezout 15307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
179173, 177, 178syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
180 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃𝑝)
1813ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183 prmrp 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
184181, 182, 183syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
185180, 184mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190 rppwr 15324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
191187, 188, 189, 190syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
192186, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
193192adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
194193eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
1952ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹𝐴)
196172adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
197 nnq 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
199 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200 zq 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202 qmulcl 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203198, 201, 202syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204176adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
205 nnq 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
207 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208 zq 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209207, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210 qmulcl 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211206, 209, 210syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212 qaddcl 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213203, 211, 212syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
21411, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215195, 213, 214syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
21611, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217195, 203, 216syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
21811, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219195, 211, 218syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220217, 219readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
222144, 161, 221syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
223222rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
224223adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
225 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
226132, 224, 225sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
227 qex 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℚ ∈ V
228 cnfldadd 19799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 + = (+g‘ℂfld)
22912, 228ressplusg 16040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
230227, 229ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + = (+g𝑄)
23111, 13, 230abvtri 18878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
232195, 203, 211, 231syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
233 cnfldmul 19800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 · = (.r‘ℂfld)
23412, 233ressmulr 16053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
235227, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 · = (.r𝑄)
23611, 13, 235abvmul 18877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
237195, 198, 201, 236syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
23810ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239170ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24012, 11qabvexp 25360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
241195, 238, 239, 240syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
242241oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
243237, 242eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
244195, 238, 14syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
245244, 239reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
24611, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
247195, 201, 246syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
248245, 247remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ∈ ℝ)
249 elz 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250249simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251250adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
25211, 17abv0 18879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
2532, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ≤ 1
255253, 254syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
258257breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 = 0 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259256, 258syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) ≤ 1))
260 ostth3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
261 nnq 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
26211, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2632, 261, 262syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
264 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 ∈ ℝ
265 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
266263, 264, 265sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
267266ralbidva 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
268260, 267mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
269 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
270269breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑎) ≤ 1))
271270rspccv 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
272268, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
273272adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
2742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
275200ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (invg𝑄) = (invg𝑄)
27711, 13, 276abvneg 18882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
278274, 275, 277syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
27912qrngneg 25357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
280275, 279syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
281 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
282280, 281eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
283268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
284 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)))
285284breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
286285rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
287282, 283, 286sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
288278, 287eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
289288expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
290259, 273, 2893jaod 1432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹𝑎) ≤ 1))
291251, 290mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
292291ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
293292ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
294 rsp 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
295293, 199, 294sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
296264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
297161ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29819ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑃))
299 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑃)) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
300244, 297, 298, 299syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
301 lemul2 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
302247, 296, 245, 300, 301syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
303295, 302mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1))
304245recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
305304mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
306303, 305breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ ((𝐹𝑃)↑𝑘))
307144rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
308307adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
309142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
310309rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
311174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
312311, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
313195, 312, 136syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
314 max1 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
315244, 313, 314syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
316315, 134syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)
317 leexp1a 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑃) ∧ (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
318244, 308, 239, 310, 316, 317syl32anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
319248, 245, 224, 306, 318letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
320243, 319eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
32111, 13, 235abvmul 18877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
322195, 206, 209, 321syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
32312, 11qabvexp 25360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
324195, 312, 239, 323syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
325324oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
326322, 325eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
327313, 239reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
32811, 13abvcl 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
329195, 209, 328syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
330327, 329remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
331 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
332331breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑏) ≤ 1))
333332rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 ∈ ℤ → (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝐹𝑏) ≤ 1))
334207, 293, 333sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ≤ 1)
335311nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
336195, 312, 335, 138syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑝))
337 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑝)) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
338313, 297, 336, 337syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
339 lemul2 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
340329, 296, 327, 338, 339syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
341334, 340mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1))
342327recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
343342mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
344341, 343breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ ((𝐹𝑝)↑𝑘))
345141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
346345rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑝))
347 max2 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
348244, 313, 347syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
349348, 134syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)
350 leexp1a 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
351313, 308, 239, 346, 349, 350syl32anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
352330, 327, 224, 344, 351letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
353326, 352eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
354217, 219, 224, 224, 320, 353le2addd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
355222rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℂ)
3563552timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
357356adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
358354, 357breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
359215, 220, 226, 232, 358letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
360 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
361360breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
362359, 361syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
363194, 362sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
364363anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
365364rexlimdvva 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
366179, 365mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
367168, 366eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
368222rpregt0d 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)))
369 ledivmul2 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘))) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
370264, 132, 369mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
371368, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
372367, 371mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2)
373163, 372eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
374 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
375145, 170, 374syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
376 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
377375, 132, 376sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
378373, 377mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
379378pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
380379rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
381156, 380mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
382381expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) < 1 → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
383382pm2.01d 181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
384260ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
385 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
386385breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑝)))
387386notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
388387rspcv 3336 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) → ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
389100, 384, 388sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 1 < (𝐹𝑝))
390 lttri3 10159 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
391137, 264, 390sylancl 695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
392383, 389, 391mpbir2and 977 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = 1)
393109, 131, 3923eqtr4d 2695 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑝))
394107, 393eqtr2d 2686 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
395394ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
39698, 395pm2.61dne 2909 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
39712, 11, 2, 47, 396ostthlem2 25362 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
398 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
399398mpteq2dv 4778 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
400399eqeq2d 2661 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))))
401400rspcev 3340 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
40244, 397, 401syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cq 11826  +crp 11870  cexp 12900  expce 14836  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432   pCnt cpc 15588  s cress 15905  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  invgcminusg 17470  AbsValcabv 18864  fldccnfld 19794  logclog 24346  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
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