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Theorem ostth3 25044
Description: - Lemma for ostth 25045: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth3.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth3.3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
ostth3.5 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
ostth3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑝,𝑦   𝑆,𝑎   𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑄,𝑛,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem ostth3
Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth3.5 . . . 4 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
2 ostth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 prmuz2 15192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6 eluz2b2 11593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
75, 6sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
87simpld 473 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 nnq 11633 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
11 qabsabv.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12 qrng.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1312qrngbas 25025 . . . . . . . . . 10 ℚ = (Base‘𝑄)
1411, 13abvcl 18593 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
152, 10, 14syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
168nnne0d 10912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1712qrng0 25027 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
1811, 13, 17abvgt0 18597 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑃))
192, 10, 16, 18syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑃))
2015, 19elrpd 11701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
2120relogcld 24090 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℝ)
228nnred 10882 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
237simprd 477 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑃)
2422, 23rplogcld 24096 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
2521, 24rerpdivcld 11735 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
2625renegcld 10308 . . . 4 (𝜑 → -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
271, 26syl5eqel 2691 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 ostth3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
29 1rp 11668 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
30 logltb 24067 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3120, 29, 30sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3228, 31mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1))
33 log1 24053 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3432, 33syl6breq 4618 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < 0)
3524rpcnd 11706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
3635mul01d 10086 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
3734, 36breqtrrd 4605 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38 0red 9897 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3921, 38, 24ltdivmuld 11755 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
4037, 39mpbird 245 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
4125lt0neg1d 10446 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
4240, 41mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
4342, 1syl6breqr 4619 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4427, 43elrpd 11701 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
45 padic.j . . . . 5 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4612, 11, 45padicabvcxp 25038 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
473, 44, 46syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑃))
4948oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
50 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
51 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6176 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5310, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5445padicval 25023 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
553, 10, 54syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
5616neneqd 2786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
5756iffalsed 4046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
588nncnd 10883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5958exp1d 12820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
6059oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
62 pcid 15361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
633, 61, 62sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
6460, 63eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
6564negeqd 10126 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
6665oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67 neg1z 11246 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
6958, 16, 68cxpexpzd 24174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑐-1) = (𝑃↑-1))
7066, 69eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃𝑐-1))
7155, 57, 703eqtrd 2647 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = (𝑃𝑐-1))
7271oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
7327recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7473mulm1d 10332 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
751negeqi 10125 . . . . . . . . . . 11 -𝑅 = --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
7625recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
7776negnegd 10234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7875, 77syl5eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7974, 78eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
8079oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
818nnrpd 11702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
82 neg1rr 10972 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
8481, 83, 73cxpmuld 24197 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
8558, 16, 76cxpefd 24175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
8621recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
8724rpne0d 11709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
8886, 35, 87divcan1d 10651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹𝑃)))
8988fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑃))))
9020reeflogd 24091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑃))) = (𝐹𝑃))
9185, 89, 903eqtrd 2647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹𝑃))
9280, 84, 913eqtr3d 2651 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑃))
9353, 72, 923eqtrrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃))
94 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑝))
95 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
9694, 95eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9793, 96syl5ibcom 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9897adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
99 prmnn 15172 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
10099ad2antlr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101 nnq 11633 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑝))
104103oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
105 ovex 6555 . . . . . . . 8 (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) ∈ V
106104, 50, 105fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
10873ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
1091081cxpd 24170 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (1↑𝑐𝑅) = 1)
1103ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
11145padicval 25023 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112110, 102, 111syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113100nnne0d 10912 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114113neneqd 2786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115114iffalsed 4046 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116 pceq0 15359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
1173, 99, 116syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
118 dvdsprm 15199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
1195, 118sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
120119necon3bbid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑝𝑃𝑝))
121117, 120bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃𝑝))
122121biimpar 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123122negeqd 10126 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124 neg0 10178 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
125123, 124syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126125oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
12758ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128127exp0d 12819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129126, 128eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130112, 115, 1293eqtrd 2647 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = 1)
131130oveq1d 6542 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (1↑𝑐𝑅))
132 2re 10937 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134 ostth3.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
1352ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝐹𝐴)
13611, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
137135, 102, 136syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
13811, 13, 17abvgt0 18597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑝))
139135, 102, 113, 138syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 0 < (𝐹𝑝))
140137, 139elrpd 11701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
141140adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
14220ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
143141, 142ifcld 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) ∈ ℝ+)
144134, 143syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
145144rprecred 11715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
14728ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) < 1)
148 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑝) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
149 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
150148, 149ifboth 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑝) < 1 ∧ (𝐹𝑃) < 1) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
151146, 147, 150syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
152134, 151syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153144reclt1d 11717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154152, 153mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155 expnbnd 12810 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156133, 145, 154, 155syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157144rpcnd 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158157adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159144rpne0d 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160159adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161 nnz 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162161adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163158, 160, 162exprecd 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆𝑘)))
1642ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
165 ax-1ne0 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
16612qrng1 25028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (1r𝑄)
16711, 166, 17abv1z 18601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168164, 165, 167sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
1698ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170 nnnn0 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
171 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
172169, 170, 171syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
173172nnzd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
17499ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175 nnexpcl 12690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
176174, 170, 175syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
177176nnzd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
178 bezout 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
179173, 177, 178syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
180 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃𝑝)
1813ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183 prmrp 15208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
184181, 182, 183syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
185180, 184mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186185adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187169adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188174adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190 rppwr 15061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
191187, 188, 189, 190syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
192186, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
193192adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
194193eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
1952ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹𝐴)
196172adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
197 nnq 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
199 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200 zq 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202 qmulcl 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203198, 201, 202syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204176adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
205 nnq 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
207 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208 zq 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209207, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210 qmulcl 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211206, 209, 210syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212 qaddcl 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213203, 211, 212syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
21411, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215195, 213, 214syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
21611, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217195, 203, 216syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
21811, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219195, 211, 218syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220217, 219readdcld 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221 rpexpcl 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
222144, 161, 221syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
223222rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
224223adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
225 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
226132, 224, 225sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
227 qex 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℚ ∈ V
228 cnfldadd 19518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 + = (+g‘ℂfld)
22912, 228ressplusg 15764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
230227, 229ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + = (+g𝑄)
23111, 13, 230abvtri 18599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
232195, 203, 211, 231syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
233 cnfldmul 19519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 · = (.r‘ℂfld)
23412, 233ressmulr 15775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
235227, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 · = (.r𝑄)
23611, 13, 235abvmul 18598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
237195, 198, 201, 236syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
23810ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239170ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24012, 11qabvexp 25032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
241195, 238, 239, 240syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
242241oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
243237, 242eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
244195, 238, 14syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
245244, 239reexpcld 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
24611, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
247195, 201, 246syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
248245, 247remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ∈ ℝ)
249 elz 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250249simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251250adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
25211, 17abv0 18600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
2532, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254 0le1 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ≤ 1
255253, 254syl6eqbr 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256255adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
258257breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 = 0 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259256, 258syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) ≤ 1))
260 ostth3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
261 nnq 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
26211, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2632, 261, 262syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
264 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 ∈ ℝ
265 lenlt 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
266263, 264, 265sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
267266ralbidva 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
268260, 267mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
269 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
270269breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑎) ≤ 1))
271270rspccv 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
272268, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
273272adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
2742adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
275200ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (invg𝑄) = (invg𝑄)
27711, 13, 276abvneg 18603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
278274, 275, 277syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
27912qrngneg 25029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
280275, 279syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
281 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
282280, 281eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
283268adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
284 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)))
285284breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
286285rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
287282, 283, 286sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
288278, 287eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
289288expr 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
290259, 273, 2893jaod 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹𝑎) ≤ 1))
291251, 290mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
292291ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
293292ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
294 rsp 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
295293, 199, 294sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
296264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
297161ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29819ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑃))
299 expgt0 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑃)) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
300244, 297, 298, 299syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
301 lemul2 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
302247, 296, 245, 300, 301syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
303295, 302mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1))
304245recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
305304mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
306303, 305breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ ((𝐹𝑃)↑𝑘))
307144rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
308307adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
309142adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
310309rpge0d 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
311174adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
312311, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
313195, 312, 136syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
314 max1 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
315244, 313, 314syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
316315, 134syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)
317 leexp1a 12736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑃) ∧ (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
318244, 308, 239, 310, 316, 317syl32anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
319248, 245, 224, 306, 318letrd 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
320243, 319eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
32111, 13, 235abvmul 18598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
322195, 206, 209, 321syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
32312, 11qabvexp 25032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
324195, 312, 239, 323syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
325324oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
326322, 325eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
327313, 239reexpcld 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
32811, 13abvcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
329195, 209, 328syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
330327, 329remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
331 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
332331breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑏) ≤ 1))
333332rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 ∈ ℤ → (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝐹𝑏) ≤ 1))
334207, 293, 333sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ≤ 1)
335311nnne0d 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
336195, 312, 335, 138syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑝))
337 expgt0 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑝)) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
338313, 297, 336, 337syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
339 lemul2 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
340329, 296, 327, 338, 339syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
341334, 340mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1))
342327recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
343342mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
344341, 343breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ ((𝐹𝑝)↑𝑘))
345141adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
346345rpge0d 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑝))
347 max2 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
348244, 313, 347syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
349348, 134syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)
350 leexp1a 12736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
351313, 308, 239, 346, 349, 350syl32anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
352330, 327, 224, 344, 351letrd 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
353326, 352eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
354217, 219, 224, 224, 320, 353le2addd 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
355222rpcnd 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℂ)
3563552timesd 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
357356adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
358354, 357breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
359215, 220, 226, 232, 358letrd 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
360 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
361360breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
362359, 361syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
363194, 362sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
364363anassrs 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
365364rexlimdvva 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
366179, 365mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
367168, 366eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
368222rpregt0d 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)))
369 ledivmul2 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘))) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
370264, 132, 369mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
371368, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
372367, 371mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2)
373163, 372eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
374 reexpcl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
375145, 170, 374syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
376 lenlt 9967 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
377375, 132, 376sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
378373, 377mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
379378pm2.21d 116 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
380379rexlimdva 3012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
381156, 380mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
382381expr 640 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) < 1 → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
383382pm2.01d 179 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
384260ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
385 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
386385breq2d 4589 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑝)))
387386notbid 306 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
388387rspcv 3277 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛) → ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
389100, 384, 388sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 1 < (𝐹𝑝))
390 lttri3 9972 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
391137, 264, 390sylancl 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
392383, 389, 391mpbir2and 958 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = 1)
393109, 131, 3923eqtr4d 2653 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑝))
394107, 393eqtr2d 2644 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
395394ex 448 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
39698, 395pm2.61dne 2867 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
39712, 11, 2, 47, 396ostthlem2 25034 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
398 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
399398mpteq2dv 4667 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
400399eqeq2d 2619 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) ↔ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))))
401400rspcev 3281 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
40244, 397, 401syl2anc 690 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  cq 11620  +crp 11664  cexp 12677  expce 14577  cdvds 14767   gcd cgcd 15000  cprime 15169   pCnt cpc 15325  s cress 15642  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  invgcminusg 17192  AbsValcabv 18585  fldccnfld 19513  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
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