Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem4N 35563
 Description: Lemma for osumclN 35571. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 3953 . . 3 (𝑟 ∈ (𝑋𝑌) → ¬ (𝑋𝑌) = ∅)
2 incom 3838 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
3 sslin 3872 . . . . . . . 8 (𝑋 ⊆ ( 𝑌) → (𝑌𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
433ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑌𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
52, 4syl5eqss 3682 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
6 osumcllem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
86, 7pnonsingN 35537 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∩ ( 𝑌)) = ∅)
983adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑌 ∩ ( 𝑌)) = ∅)
105, 9sseqtrd 3674 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) ⊆ ∅)
11 ss0b 4006 . . . . 5 ((𝑋𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋𝑌) = ∅)
1210, 11sylib 208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) = ∅)
1312adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑋𝑌) = ∅)
141, 13nsyl3 133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋𝑌))
15 simprr 811 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑌)
16 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞𝑌𝑟𝑌))
1715, 16syl5ibcom 235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟𝑟𝑌))
18 simprl 809 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑟𝑋)
1917, 18jctild 565 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟𝑋𝑟𝑌)))
20 elin 3829 . . . 4 (𝑟 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑟𝑋𝑟𝑌))
2119, 20syl6ibr 242 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟𝑟 ∈ (𝑋𝑌)))
2221necon3bd 2837 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑞𝑟))
2314, 22mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  +𝑃cpadd 35399  ⊥𝑃cpolN 35506  PSubClcpscN 35538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-pmap 35108  df-polarityN 35507 This theorem is referenced by:  osumcllem6N  35565
 Copyright terms: Public domain W3C validator