Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem4N 34059
Description: Lemma for osumclN 34067. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N
StepHypRef Expression
1 n0i 3878 . . 3 (𝑟 ∈ (𝑋𝑌) → ¬ (𝑋𝑌) = ∅)
2 incom 3766 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
3 sslin 3800 . . . . . . . 8 (𝑋 ⊆ ( 𝑌) → (𝑌𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
433ad2ant3 1076 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑌𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
52, 4syl5eqss 3611 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( 𝑌)))
6 osumcllem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
86, 7pnonsingN 34033 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∩ ( 𝑌)) = ∅)
983adant3 1073 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑌 ∩ ( 𝑌)) = ∅)
105, 9sseqtrd 3603 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) ⊆ ∅)
11 ss0b 3924 . . . . 5 ((𝑋𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋𝑌) = ∅)
1210, 11sylib 206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋𝑌) = ∅)
1312adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑋𝑌) = ∅)
141, 13nsyl3 131 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋𝑌))
15 simprr 791 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑌)
16 eleq1 2675 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞𝑌𝑟𝑌))
1715, 16syl5ibcom 233 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟𝑟𝑌))
18 simprl 789 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑟𝑋)
1917, 18jctild 563 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟𝑋𝑟𝑌)))
20 elin 3757 . . . 4 (𝑟 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑟𝑋𝑟𝑌))
2119, 20syl6ibr 240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (𝑞 = 𝑟𝑟 ∈ (𝑋𝑌)))
2221necon3bd 2795 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑞𝑟))
2314, 22mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  +𝑃cpadd 33895  𝑃cpolN 34002  PSubClcpscN 34034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-pmap 33604  df-polarityN 34003
This theorem is referenced by:  osumcllem6N  34061
  Copyright terms: Public domain W3C validator