Theorem osumcllem4N 37097

Description: Lemma for osumclN 37105. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem osumcllem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4301	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ¬ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
2		incom 4180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
3		sslin 4213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
4	3	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
5	2, 4	eqsstrid 4017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
6		osumcllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
8	6, 7	pnonsingN 37071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
9	8	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑌 ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ∅)
10	5, 9	sseqtrd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅)
11		ss0b 4353	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
12	10, 11	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
13	12	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑋 ∩ 𝑌) = ∅)
14	1, 13	nsyl3 140	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
15		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ∈ 𝑌)
16		eleq1w 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑌 ↔ 𝑟 ∈ 𝑌))
17	15, 16	syl5ibcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ 𝑌))
18		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19	17, 18	jctild 528	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌)))
20		elin 4171	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌))
21	19, 20	syl6ibr 254	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
22	21	necon3bd 3032	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑞 ≠ 𝑟))
23	14, 22	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌)) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  lecple 16574  joincjn 17556  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  +_𝑃cpadd 36933  ⊥_𝑃cpolN 37040  PSubClcpscN 37072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-undef 7941  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-pmap 36642  df-polarityN 37041

This theorem is referenced by:  osumcllem6N  37099