Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem6N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem6N 34063
Description: Lemma for osumclN 34069. Use atom exchange hlatexch1 33497 to swap 𝑝 and 𝑞. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem6N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem osumcllem6N
StepHypRef Expression
1 simp11 1083 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1084 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑋𝐴)
3 simp13 1085 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑌𝐴)
4 simp2r 1080 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝𝐴)
5 simp31 1089 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝑋)
6 simp32 1090 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝑌)
73, 6sseldd 3563 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝐴)
82, 5sseldd 3563 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝐴)
97, 4, 83jca 1234 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴))
10 simp2l 1079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
11 osumcllem.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
12 osumcllem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
13 osumcllem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 osumcllem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
15 osumcllem.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
16 osumcllem.c . . . . . 6 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
17 osumcllem.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
18 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18osumcllem4N 34061 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)
201, 3, 10, 5, 6, 19syl32anc 1325 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝑟)
211, 9, 203jca 1234 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴) ∧ 𝑞𝑟))
22 simp33 1091 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
2311, 12, 13hlatexch1 33497 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 (𝑟 𝑞)))
2421, 22, 23sylc 62 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 (𝑟 𝑞))
2511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18osumcllem5N 34062 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25syl313anc 1341 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wss 3534  {csn 4119   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  lecple 15716  joincjn 16708  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  +𝑃cpadd 33897  𝑃cpolN 34004  PSubClcpscN 34036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-undef 7258  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-polarityN 34005
This theorem is referenced by:  osumcllem7N  34064
  Copyright terms: Public domain W3C validator