Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem8N 35770
Description: Lemma for osumclN 35774. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌𝑀) = ∅)

Proof of Theorem osumcllem8N
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4074 . . . 4 ((𝑌𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌𝑀))
2 osumcllem.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 osumcllem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
6 osumcllem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
7 osumcllem.c . . . . . . 7 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8 osumcllem.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9 osumcllem.u . . . . . . 7 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9osumcllem7N 35769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
11103expia 1115 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑌𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1211exlimdv 2010 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
131, 12syl5bi 232 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → ((𝑌𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1413necon1bd 2950 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑌𝑀) = ∅))
15143impia 1110 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  lecple 16170  joincjn 17165  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  +𝑃cpadd 35602  𝑃cpolN 35709  PSubClcpscN 35741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-polarityN 35710
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  35771
  Copyright terms: Public domain W3C validator