Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem8N 34063
Description: Lemma for osumclN 34067. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌𝑀) = ∅)

Proof of Theorem osumcllem8N
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3889 . . . 4 ((𝑌𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌𝑀))
2 osumcllem.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 osumcllem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
6 osumcllem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
7 osumcllem.c . . . . . . 7 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8 osumcllem.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9 osumcllem.u . . . . . . 7 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9osumcllem7N 34062 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
11103expia 1258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑌𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1211exlimdv 1847 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
131, 12syl5bi 230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → ((𝑌𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1413necon1bd 2799 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴)) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑌𝑀) = ∅))
15143impia 1252 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  +𝑃cpadd 33895  𝑃cpolN 34002  PSubClcpscN 34034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-polarityN 34003
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  34064
  Copyright terms: Public domain W3C validator