Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  outsideoftr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem outsideoftr 31207
Description: Transitivity law for outsideness. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsideoftr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem outsideoftr
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . . . . 5 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → 𝐴𝑃)
2 simplr 787 . . . . 5 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → 𝐵𝑃)
3 simprr 791 . . . . 5 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → 𝐶𝑃)
41, 2, 33jca 1234 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃))
5 simplr1 1095 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐴𝑃)
6 simplr3 1097 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐶𝑃)
7 df-3an 1032 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩))
8 simp1 1053 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 simp3r 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 simp2l 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 simp2r 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 simp3l 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 simpr2 1060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
14 simpr3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14btwnexchand 31104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
1615orcd 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
177, 16sylan2br 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
1817expr 640 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
19 simprlr 798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
20 simprr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
21 btwnconn3 31181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
228, 9, 10, 12, 11, 21syl122anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2419, 20, 23mp2and 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
2524expr 640 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2618, 25jaod 393 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2726expr 640 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28 simpll2 1093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → 𝐵𝑃)
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵𝑃)
3029necomd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝑃𝐵)
31 simprlr 798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
32 simprr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
33 btwnconn1 31179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝐵𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
348, 9, 11, 10, 12, 33syl122anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝐵𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → ((𝑃𝐵𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
3630, 31, 32, 35mp3and 1418 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
3736expr 640 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
38 df-3an 1032 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
39 simpr3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
40 simpr2 1060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
418, 9, 12, 11, 10, 39, 40btwnexchand 31104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
4241olcd 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
4338, 42sylan2br 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
4443expr 640 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
4537, 44jaod 393 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
4645expr 640 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
4727, 46jaod 393 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
4847imp32 447 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
495, 6, 483jca 1234 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
5049exp31 627 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
514, 50syl5 33 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
5251impd 445 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
53 broutsideof2 31200 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
548, 9, 10, 11, 53syl13anc 1319 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
55 broutsideof2 31200 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
568, 9, 11, 12, 55syl13anc 1319 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
5754, 56anbi12d 742 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
58 df-3an 1032 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59 df-3an 1032 . . . . 5 ((𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ↔ ((𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))
6058, 59anbi12i 728 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
61 an4 860 . . . 4 ((((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
6260, 61bitr4i 265 . . 3 (((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
6357, 62syl6bb 274 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
64 broutsideof2 31200 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
658, 9, 10, 12, 64syl13anc 1319 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
6652, 63, 653imtr4d 281 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030  wcel 1975  wne 2774  cop 4125   class class class wbr 4572  cfv 5785  cn 10862  𝔼cee 25481   Btwn cbtwn 25482  OutsideOfcoutsideof 31197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-oi 8270  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-clim 14008  df-sum 14206  df-ee 25484  df-btwn 25485  df-cgr 25486  df-ofs 31061  df-colinear 31117  df-ifs 31118  df-cgr3 31119  df-fs 31120  df-outsideof 31198
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator