Theorem ovmpt2 6671

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpt2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpt2g.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpt2g.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpt2.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpt2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpt2.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpt2g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpt2g.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpt2g.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpt2g 6670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1404	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172  (class class class)co 6526   ↦ cmpt2 6528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pr 4827

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531

This theorem is referenced by:  seqomlem1  7409  seqomlem4  7412  oav  7455  omv  7456  oev  7458  iunfictbso  8797  fin23lem12  9013  axdc4lem  9137  axcclem  9139  addpipq2  9614  mulpipq2  9617  subval  10123  divval  10538  cnref1o  11661  ixxval  12012  fzval  12156  modval  12489  om2uzrdg  12574  uzrdgsuci  12578  axdc4uzlem  12601  seqval  12631  seqp1  12635  bcval  12910  cnrecnv  13701  risefacval  14526  fallfacval  14527  gcdval  15004  lcmval  15091  imasvscafn  15968  imasvscaval  15969  grpsubval  17236  isghm  17431  lactghmga  17595  efgmval  17896  efgtval  17907  frgpup3lem  17961  dvrval  18456  psrvsca  19160  frlmval  19858  mat1comp  20012  mamulid  20013  mamurid  20014  madufval  20209  xkococnlem  21219  xkococn  21220  cnextval  21622  dscmet  22134  cncfval  22446  htpycom  22530  htpyid  22531  phtpycom  22542  phtpyid  22543  logbval  24248  isismt  25174  grpodivval  26566  ipval  26735  lnoval  26784  nmoofval  26794  bloval  26813  0ofval  26819  ajfval  26841  hvsubval  27050  hosmval  27771  hommval  27772  hodmval  27773  hfsmval  27774  hfmmval  27775  kbfval  27988  opsqrlem3  28178  xdivval  28751  smatrcl  28983  smatlem  28984  mdetpmtr12  29012  fvproj  29020  pstmfval  29060  sxval  29373  ismbfm  29434  dya2iocival  29455  sitgval  29514  sitmval  29531  oddpwdcv  29537  ballotlemgval  29705  cvmlift2lem4  30335  icoreval  32160  metf1o  32504  heiborlem3  32565  heiborlem6  32568  heiborlem8  32570  heibor  32573  ldualvs  33225  tendopl  34865  cdlemkuu  34984  dvavsca  35106  dvhvaddval  35180  dvhvscaval  35189  hlhilipval  36042  wwlks2onv  41139  dpval  42252