Theorem ovmpt2 6838

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpt2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpt2g.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpt2g.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpt2.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpt2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpt2.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpt2g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpt2g.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpt2g.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpt2g 6837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695

This theorem is referenced by:  seqomlem1  7590  seqomlem4  7593  oav  7636  omv  7637  oev  7639  iunfictbso  8975  fin23lem12  9191  axdc4lem  9315  axcclem  9317  addpipq2  9796  mulpipq2  9799  subval  10310  divval  10725  cnref1o  11865  ixxval  12221  fzval  12366  modval  12710  om2uzrdg  12795  uzrdgsuci  12799  axdc4uzlem  12822  seqval  12852  seqp1  12856  bcval  13131  cnrecnv  13949  risefacval  14783  fallfacval  14784  gcdval  15265  lcmval  15352  imasvscafn  16244  imasvscaval  16245  grpsubval  17512  isghm  17707  lactghmga  17870  efgmval  18171  efgtval  18182  frgpup3lem  18236  dvrval  18731  psrvsca  19439  frlmval  20140  mat1comp  20294  mamulid  20295  mamurid  20296  madufval  20491  xkococnlem  21510  xkococn  21511  cnextval  21912  dscmet  22424  cncfval  22738  htpycom  22822  htpyid  22823  phtpycom  22834  phtpyid  22835  logbval  24549  isismt  25474  clwwlknon  27063  clwwlknonOLD  27064  clwwlk0on0  27067  grpodivval  27517  ipval  27686  lnoval  27735  nmoofval  27745  bloval  27764  0ofval  27770  ajfval  27792  hvsubval  28001  hosmval  28722  hommval  28723  hodmval  28724  hfsmval  28725  hfmmval  28726  kbfval  28939  opsqrlem3  29129  dpval  29725  xdivval  29755  smatrcl  29990  smatlem  29991  mdetpmtr12  30019  fvproj  30027  pstmfval  30067  sxval  30381  ismbfm  30442  dya2iocival  30463  sitgval  30522  sitmval  30539  oddpwdcv  30545  ballotlemgval  30713  vtsval  30843  cvmlift2lem4  31414  icoreval  33331  metf1o  33681  heiborlem3  33742  heiborlem6  33745  heiborlem8  33747  heibor  33750  ldualvs  34742  tendopl  36381  cdlemkuu  36500  dvavsca  36622  dvhvaddval  36696  dvhvscaval  36705  hlhilipval  37558