Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovmpt2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovmpt2a 6756
 Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by NM, 19-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2ga.1 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpt2ga.2 𝐹 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐷𝑅)
ovmpt2a.4 𝑆 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ovmpt2a ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpt2a
StepHypRef Expression
1 ovmpt2a.4 . 2 𝑆 ∈ V
2 ovmpt2ga.1 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
3 ovmpt2ga.2 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐷𝑅)
42, 3ovmpt2ga 6755 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
51, 4mp3an3 1410 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620 This theorem is referenced by:  1st2val  7154  2nd2val  7155  cantnffval  8520  cantnfsuc  8527  fseqenlem1  8807  xaddval  12013  xmulval  12015  fzoval  12428  expval  12818  ccatfval  13313  splcl  13456  cshfn  13489  bpolylem  14723  ruclem1  14904  sadfval  15117  sadcp1  15120  smufval  15142  smupp1  15145  eucalgval2  15237  pcval  15492  pc0  15502  vdwapval  15620  pwsval  16086  xpsfval  16167  xpsval  16172  rescval  16427  isfunc  16464  isfull  16510  isfth  16514  natfval  16546  catcisolem  16696  xpchom  16760  1stfval  16771  2ndfval  16774  yonedalem3a  16854  yonedainv  16861  plusfval  17188  ismhm  17277  mulgval  17483  eqgfval  17582  isga  17664  subgga  17673  cayleylem1  17772  sylow1lem2  17954  isslw  17963  sylow2blem1  17975  sylow3lem1  17982  sylow3lem6  17987  frgpuptinv  18124  frgpup2  18129  isrhm  18661  scafval  18822  islmhm  18967  psrmulfval  19325  mplval  19368  ltbval  19411  mpfrcl  19458  evlsval  19459  evlval  19464  xrsdsval  19730  ipfval  19934  dsmmval  20018  matval  20157  submafval  20325  mdetfval  20332  minmar1fval  20392  txval  21307  xkoval  21330  hmeofval  21501  flffval  21733  qustgplem  21864  dscmet  22317  dscopn  22318  tngval  22383  nmofval  22458  nghmfval  22466  isnmhm  22490  htpyco1  22717  htpycc  22719  phtpycc  22730  reparphti  22737  pcoval  22751  pcohtpylem  22759  pcorevlem  22766  dyadval  23300  itg1addlem3  23405  itg1addlem4  23406  mbfi1fseqlem3  23424  mbfi1fseqlem4  23425  mbfi1fseqlem5  23426  mbfi1fseqlem6  23427  mdegfval  23760  quotval  23985  elqaalem2  24013  cxpval  24344  cxpcn3  24423  angval  24465  sgmval  24802  lgsval  24960  wspthsn  26638  rusgrnumwwlklem  26766  numclwwlkovf  27103  numclwwlkovg  27110  numclwwlkovq  27121  numclwwlkovh  27123  shsval  28059  sshjval  28097  faeval  30132  txsconnlem  30983  cvxsconn  30986  iscvm  31002  cvmliftlem5  31032  rngohomval  33434  rngoisoval  33447  rmxfval  36987  rmyfval  36988  mendplusg  37276  mendvsca  37281  addrval  38191  subrval  38192  mulvval  38193  sigarval  40373  ismgmhm  41101  dmatALTval  41507
 Copyright terms: Public domain W3C validator