Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubaddlem2 41106
Description: (voln*‘𝑋) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsubaddlem2.n0 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
ovnsubaddlem2.a (𝜑𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ovnsubaddlem2.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ovnsubaddlem2.z 𝑍 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
ovnsubaddlem2.c 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
ovnsubaddlem2.l 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
ovnsubaddlem2.d 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑒)}))
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐴,𝑘,𝑙,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛   𝑧,𝐴,𝑎,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝐶,𝑎,𝑒,𝑖   𝐷,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝐷,𝑘   𝐸,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑘,𝐸   𝐿,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝑋,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   ,𝑋,𝑘,𝑖,𝑗   𝑋,𝑙   𝑧,𝑋   𝜑,𝑎,𝑒,𝑖,𝑗,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,,𝑙)   𝐴()   𝐶(𝑧,,𝑗,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐷(𝑧,,𝑙)   𝐸(𝑧,,𝑙)   𝐿(𝑧,,𝑘,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑒,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem ovnsubaddlem2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6239 . . . 4 ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ∈ V
2 nnenom 12819 . . . 4 ℕ ≈ ω
31, 2axcc3 9298 . . 3 𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4 simprl 809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → 𝑔 Fn ℕ)
5 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑛𝜑
6 nfra1 2970 . . . . . . . . 9 𝑛𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
75, 6nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
8 rspa 2959 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
98adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1715, 16ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
18 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑛) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) → (𝐴𝑛) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ+)
22 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
23 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
26 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2724, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
28 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3221, 31rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑒)}))
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 41099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
37 n0 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅)
40 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4241ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4342adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4544ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
467, 45ralrimi 2986 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
4746adantrl 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
484, 47jca 553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))) → (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
4948ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))))
5049eximdv 1886 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ≠ ∅ → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))))
513, 50mpi 20 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
52 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → 𝜑)
53 simprl 809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → 𝑔 Fn ℕ)
54 simprr 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
55 nnf1oxpnn 39698 . . . . . 6 𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)
56 simpl1 1084 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝜑)
57 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑔 Fn ℕ)
58 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑛 → (𝑔𝑞) = (𝑔𝑛))
59 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑛 → (𝐴𝑞) = (𝐴𝑛))
6059fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑛 → (𝐷‘(𝐴𝑞)) = (𝐷‘(𝐴𝑛)))
61 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑛 → (2↑𝑞) = (2↑𝑛))
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑛 → (𝐸 / (2↑𝑞)) = (𝐸 / (2↑𝑛)))
6360, 62fveq12d 6235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑛 → ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) = ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
6458, 63eleq12d 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑛 → ((𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) ↔ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))))
6564cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
6665biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
67663ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
6867adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))))
69 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ))
7010adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ∈ Fin)
71703ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ∈ Fin)
7212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ≠ ∅)
73723ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑋 ≠ ∅)
7414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
75743ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
7620adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
77763ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
78 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))})
79 coeq2 5313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑖 → ([,) ∘ ) = ([,) ∘ 𝑖))
8079fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑖 → (([,) ∘ )‘𝑘) = (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘))
8180fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑖 → (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8281prodeq2ad 40142 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑖 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8382cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘))) = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8434, 83eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
8565biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
86853ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
8786ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
88 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
89 rspa 2959 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
9087, 88, 89syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))
91 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ))
92 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑚 → (𝑓𝑞) = (𝑓𝑚))
9392fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑚 → (1st ‘(𝑓𝑞)) = (1st ‘(𝑓𝑚)))
9493fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑚 → (𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞))) = (𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚))))
9592fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑚 → (2nd ‘(𝑓𝑞)) = (2nd ‘(𝑓𝑚)))
9694, 95fveq12d 6235 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑚 → ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞)))‘(2nd ‘(𝑓𝑞))) = ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚)))‘(2nd ‘(𝑓𝑚))))
9796cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑞)))‘(2nd ‘(𝑓𝑞)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘(1st ‘(𝑓𝑚)))‘(2nd ‘(𝑓𝑚))))
9871, 73, 75, 77, 78, 33, 84, 35, 90, 91, 97ovnsubaddlem1 41105 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝑔𝑞) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑞))‘(𝐸 / (2↑𝑞)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
9956, 57, 68, 69, 98syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
10099ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
101100exlimdv 1901 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→(ℕ × ℕ) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
10255, 101mpi 20 . . . . 5 ((𝜑𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
10352, 53, 54, 102syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛))))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
104103ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
105104exlimdv 1901 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ ((𝐷‘(𝐴𝑛))‘(𝐸 / (2↑𝑛)))) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸)))
10651, 105mpd 15 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛)) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝑛)))) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  cr 9973  *cxr 10111  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  +crp 11870   +𝑒 cxad 11982  [,)cico 12215  cexp 12900  cprod 14679  volcvol 23278  Σ^csumge0 40897  voln*covoln 41071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-sumge0 40898  df-ovoln 41072
This theorem is referenced by:  ovnsubadd  41107
  Copyright terms: Public domain W3C validator