Theorem ovolctb2 23306

Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolctb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		nnssre 11062	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		unss 3820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℕ ⊆ ℝ) ↔ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	sylanblc 697	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
5		nnenom 12819	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
6		domentr 8056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
7	5, 6	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → 𝐴 ≼ ω)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ≼ ω)
9		endom 8024	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
11		unctb 9065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ℕ ≼ ω) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
12	8, 10, 11	sylancl 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
13	5	ensymi 8047	. . . . 5 ⊢ ω ≈ ℕ
14		domentr 8056	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
15	12, 13, 14	sylancl 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
16		reex 10065	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	ssex 4835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
18	4, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
19		ssun2 3810	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
20		ssdomg 8043	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ ℕ) ∈ V → (ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)))
21	18, 19, 20	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ))
22		sbth 8121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
23	15, 21, 22	syl2anc 694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
24		ovolctb 23304	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
25	4, 23, 24	syl2anc 694	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
26		ssun1 3809	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
27		ovolssnul 23301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
28	26, 27	mp3an1 1451	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
29	4, 25, 28	syl2anc 694	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  ωcom 7107   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995  ℝcr 9973  0cc0 9974  ℕcn 11058  vol*covol 23277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279

This theorem is referenced by:  ovol0  23307  ovolfi  23308  uniiccdif  23392  voliunnfl  33583  volsupnfl  33584