Theorem ovolioo 24172

Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem ovolioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 24169	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		mblvol 24134	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵))
4		iccmbl 24170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
5		mblvol 24134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
7	6	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
8	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
9		prssi 4757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
10	9	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
11		prfi 8796	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12		ovolfi 24098	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
13	11, 10, 12	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
14		nulmbl 24139	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
16		df-pr 4573	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
17	16	ineq2i 4189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
18		indi 4253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
19	17, 18	eqtri 2847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
20		simp1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	ltnrd 10777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		eliooord 12799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
23	22	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
24	21, 23	nsyl 142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25		disjsn 4650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26	24, 25	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
27		simp2 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27	ltnrd 10777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
29		eliooord 12799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵))
30	29	simprd 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
31	28, 30	nsyl 142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
32		disjsn 4650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
33	31, 32	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
34	26, 33	uneq12d 4143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
35		un0 4347	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
36	34, 35	syl6eq 2875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = ∅)
37	19, 36	syl5eq 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
38		ioossicc 12825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
39		iccssre 12821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	39	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41		ovolicc 24127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
42	27, 20	resubcld 11071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
43	41, 42	eqeltrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
44		ovolsscl 24090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45	38, 40, 43, 44	mp3an2i 1462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46	3, 45	eqeltrid 2920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
47		mblvol 24134	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ dom vol → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
48	15, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
49	48, 13	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
50		0re 10646	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
51	49, 50	eqeltrdi 2924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
52		volun 24149	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
53	8, 15, 37, 46, 51, 52	syl32anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
54		rexr 10690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
55		rexr 10690	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
56		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
57		prunioo 12870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
58	54, 55, 56, 57	syl3an 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
59	58	fveq2d 6677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
60	49	oveq2d 7175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0))
61	46	recnd 10672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℂ)
62	61	addid1d 10843	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
63	60, 62	eqtrd 2859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
64	53, 59, 63	3eqtr3d 2867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
65	7, 64, 41	3eqtr3d 2867	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
66	3, 65	syl5eqr 2873	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {csn 4570  {cpr 4572   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  ℝcr 10539  0cc0 10540   + caddc 10543  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873  (,)cioo 12741  [,]cicc 12744  vol*covol 24066  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-rest 16699  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cmp 21998  df-ovol 24068  df-vol 24069

This theorem is referenced by:  volioo  24173  ioovolcl  24174  ovolfs2  24175  ioorcl2  24176  uniioovol  24183  uniioombllem2  24187  uniioombllem3a  24188  uniioombllem4  24190  uniioombllem6  24192  ftc1lem4  24639  itg2gt0cn  34951  ftc1cnnclem  34969  ftc1anclem7  34977