MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem2 23482
Description: Lemma for ovolshft 23479. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ovolscalem2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolscalem2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ovolsca.4 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
43adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5 ovolsca.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
6 rpmulcl 12048 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
75, 6sylan 489 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
8 eqid 2760 . . . . . 6 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
98ovolgelb 23448 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
102, 4, 7, 9syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
111ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
125ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13 ovolsca.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
1413ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
153ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
16 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑓𝑚) = (𝑓𝑛))
1716fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (1st ‘(𝑓𝑚)) = (1st ‘(𝑓𝑛)))
1817oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶) = ((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶))
1916fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (2nd ‘(𝑓𝑚)) = (2nd ‘(𝑓𝑛)))
2019oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶) = ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶))
2118, 20opeq12d 4561 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ⟨((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶)⟩ = ⟨((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶)⟩)
2221cbvmptv 4902 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶)⟩) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶)⟩)
23 elmapi 8045 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2423ad2antrl 766 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
25 simprrl 823 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓))
26 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27 simprrr 824 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦)))
2811, 12, 14, 15, 8, 22, 24, 25, 26, 27ovolscalem1 23481 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
2910, 28rexlimddv 3173 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
3029ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
31 ssrab2 3828 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
3213, 31syl6eqss 3796 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
33 ovolcl 23446 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
353, 5rerpdivcld 12096 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
36 xralrple 12229 . . 3 (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
3734, 35, 36syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
3830, 37mpbird 247 1 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cin 3714  wss 3715  cop 4327   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  1st c1st 7331  2nd c2nd 7332  𝑚 cmap 8023  supcsup 8511  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  +crp 12025  (,)cioo 12368  seqcseq 12995  abscabs 14173  vol*covol 23431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-ovol 23433
This theorem is referenced by:  ovolsca  23483
  Copyright terms: Public domain W3C validator