MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolsscl 22975
Description: If a set is contained in another of bounded measure, it too is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolsscl ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ovolsscl
StepHypRef Expression
1 sstr 3572 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
213adant3 1073 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 simp3 1055 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
4 ovolss 22974 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
543adant3 1073 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6 ovollecl 22972 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
72, 3, 5, 6syl3anc 1317 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030  wcel 1976  wss 3536   class class class wbr 4574  cfv 5787  cr 9788  cle 9928  vol*covol 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-ico 12005  df-fz 12150  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-ovol 22954
This theorem is referenced by:  ismbl2  23016  cmmbl  23023  nulmbl  23024  nulmbl2  23025  unmbl  23026  volinun  23035  voliunlem1  23039  voliunlem2  23040  volsup  23045  ioombl1lem4  23050  ioombl1  23051  ovolioo  23057  uniioombllem2  23071  uniioombllem3  23073  uniioombllem4  23074  uniioombllem5  23075  uniioombllem6  23076  uniioombl  23077  volcn  23094  vitalilem4  23100  i1fima2  23166  i1fadd  23182  i1fmul  23183  itg1addlem2  23184  i1fres  23192  itg1climres  23201  mbfi1fseqlem4  23205  ftc1lem4  23520  mblfinlem3  32418  mblfinlem4  32419  ismblfin  32420  itg2addnclem2  32432  ftc1cnnclem  32453  ismbl3  38680
  Copyright terms: Public domain W3C validator