Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval2 39338
Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Σ^. See ovolval 22966 for an alternative expression. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval2.m 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
Assertion
Ref Expression
ovolval2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝜑,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolval2
StepHypRef Expression
1 ovolval2.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 eqid 2609 . . . 4 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
32ovolval 22966 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
52a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6 reex 9883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
76, 6xpex 6837 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ × ℝ) ∈ V
8 inss2 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
9 mapss 7763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ))
107, 8, 9mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ)
1110sseli 3563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ))
12 1zzd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ) → 1 ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 1 ∈ ℤ)
1413adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
15 nnuz 11555 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
16 absfico 38208 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶(0[,)+∞)
17 subf 10134 . . . . . . . . . . . . . 14 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
18 fco 5957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:ℂ⟶(0[,)+∞) ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
1916, 17, 18mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶(0[,)+∞))
21 rr2sscn2 38327 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
23 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
2411, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
2520, 22, 24fcoss 38200 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
2625adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓):ℕ⟶(0[,)+∞))
27 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
2814, 15, 26, 27sge0seq 39143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
2928eqcomd 2615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
3029eqeq2d 2619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))))
3130anbi2d 735 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
3231rexbidva 3030 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))))
3332rabbidv 3163 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))})
34 ovolval2.m . . . . . 6 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))}
3534eqcomi 2618 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))} = 𝑀)
375, 33, 363eqtrd 2647 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = 𝑀)
3837infeq1d 8243 . 2 (𝜑 → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
394, 38eqtrd 2643 1 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539   cuni 4366   × cxp 5026  ran crn 5029  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  supcsup 8206  infcinf 8207  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  cz 11210  (,)cioo 12002  [,)cico 12004  seqcseq 12618  abscabs 13768  vol*covol 22955  Σ^csumge0 39059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-ovol 22957  df-sumge0 39060
This theorem is referenced by:  ovolval3  39341
  Copyright terms: Public domain W3C validator