MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovprc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovprc1 6847
Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
ovprc1.1 Rel dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
ovprc1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
21con3i 150 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 ovprc1.1 . . 3 Rel dom 𝐹
43ovprc 6846 . 2 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
52, 4syl 17 1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  c0 4058  dom cdm 5266  Rel wrel 5271  (class class class)co 6813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6816
This theorem is referenced by:  mapdom2  8296  setsnid  16117  ressbas  16132  resslem  16135  ressinbas  16138  ressress  16140  oduval  17331  oduleval  17332  gsum0  17479  oppgval  17977  oppgplusfval  17978  mgpval  18692  opprval  18824  srasca  19383  rlmsca2  19403  resspsrbas  19617  mpfrcl  19720  psrbaspropd  19807  mplbaspropd  19809  evl1fval1  19897  dsmmval  20280  dsmmbas2  20283  dsmmfi  20284  qtopres  21703  fgabs  21884  tnglem  22645  tngds  22653  tchval  23217  resvsca  30139  resvlem  30140  mapco2g  37779  mzpmfp  37812  mendbas  38256
  Copyright terms: Public domain W3C validator