MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovprc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovprc1 7184
Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
ovprc1.1 Rel dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
ovprc1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
21con3i 157 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 ovprc1.1 . . 3 Rel dom 𝐹
43ovprc 7183 . 2 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
52, 4syl 17 1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  dom cdm 5548  Rel wrel 5553  (class class class)co 7145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-rel 5555  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148
This theorem is referenced by:  mapdom2  8676  setsnid  16527  ressbas  16542  resslem  16545  ressinbas  16548  ressress  16550  oduval  17728  oduleval  17729  gsum0  17882  oppgval  18413  oppgplusfval  18414  mgpval  19171  opprval  19303  srasca  19882  rlmsca2  19902  resspsrbas  20123  mpfrcl  20226  psrbaspropd  20331  mplbaspropd  20333  evl1fval1  20422  dsmmval  20806  dsmmfi  20810  qtopres  22234  fgabs  22415  tnglem  23176  tngds  23184  tcphval  23748  resvsca  30830  resvlem  30831  mapco2g  39189  mzpmfp  39222  mendbas  39662  efmndbas  43970
  Copyright terms: Public domain W3C validator