MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeqlem 26294
Description: Lemma for p1evtxdeq 26295 and p1evtxdp1 26296. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeqlem (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 p1evtxdeq.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 fvex 6158 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) ∈ V
42, 3eqeltri 2694 . . . 4 𝑉 ∈ V
5 snex 4869 . . . 4 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
64, 5pm3.2i 471 . . 3 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
7 opiedgfv 25787 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
87eqcomd 2627 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
96, 8ax-mp 5 . 2 {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
10 opvtxfv 25784 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
116, 10mp1i 13 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
12 p1evtxdeq.fv . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
13 p1evtxdeq.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑌)
14 dmsnopg 5565 . . . . 5 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1615ineq2d 3792 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
17 p1evtxdeq.d . . . . 5 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
18 df-nel 2894 . . . . 5 (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
1917, 18sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
20 disjsn 4216 . . . 4 ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
2119, 20sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
2216, 21eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
23 p1evtxdeq.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
24 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
25 funsng 5895 . . 3 ((𝐾𝑋𝐸𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
2624, 13, 25syl2anc 692 . 2 (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
27 p1evtxdeq.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
28 p1evtxdeq.fi . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
291, 9, 2, 11, 12, 22, 23, 26, 27, 28vtxdun 26263 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnel 2893  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  c0 3891  {csn 4148  cop 4154  dom cdm 5074  Fun wfun 5841  cfv 5847  (class class class)co 6604   +𝑒 cxad 11888  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  VtxDegcvtxdg 26248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-hash 13058  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-vtxdg 26249
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  26295  p1evtxdp1  26296
  Copyright terms: Public domain W3C validator