MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeqlem 27221
Description: Lemma for p1evtxdeq 27222 and p1evtxdp1 27223. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeqlem (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 p1evtxdeq.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32fvexi 6677 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 snex 5322 . . . 4 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
53, 4pm3.2i 471 . . 3 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
6 opiedgfv 26719 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
76eqcomd 2824 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
85, 7ax-mp 5 . 2 {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
9 opvtxfv 26716 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
105, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11 p1evtxdeq.fv . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
12 p1evtxdeq.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑌)
13 dmsnopg 6063 . . . . 5 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1514ineq2d 4186 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
16 p1evtxdeq.d . . . . 5 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
17 df-nel 3121 . . . . 5 (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
1816, 17sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
19 disjsn 4639 . . . 4 ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
2018, 19sylibr 235 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
2115, 20eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
22 p1evtxdeq.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
23 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
24 funsng 6398 . . 3 ((𝐾𝑋𝐸𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
2523, 12, 24syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
26 p1evtxdeq.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
27 p1evtxdeq.fi . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
281, 8, 2, 10, 11, 21, 22, 25, 26, 27vtxdun 27190 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnel 3120  Vcvv 3492  cun 3931  cin 3932  c0 4288  {csn 4557  cop 4563  dom cdm 5548  Fun wfun 6342  cfv 6348  (class class class)co 7145   +𝑒 cxad 12493  Vtxcvtx 26708  iEdgciedg 26709  VtxDegcvtxdg 27174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-hash 13679  df-vtx 26710  df-iedg 26711  df-vtxdg 27175
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  27222  p1evtxdp1  27223
  Copyright terms: Public domain W3C validator