Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padd02 36828
Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
padd02 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem padd02
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → 𝐾𝐵)
2 0ss 4347 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝐴
32a1i 11 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → ∅ ⊆ 𝐴)
4 simpr 485 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
51, 3, 43jca 1120 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (𝐾𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴𝑋𝐴))
6 neirr 3022 . . . 4 ¬ ∅ ≠ ∅
76intnanr 488 . . 3 ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)
8 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
108, 9paddval0 36826 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ ∅ ⊆ 𝐴𝑋𝐴) ∧ ¬ (∅ ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
115, 7, 10sylancl 586 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (∅ + 𝑋) = (∅ ∪ 𝑋))
12 uncom 4126 . . 3 (∅ ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ ∅)
13 un0 4341 . . 3 (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
1412, 13eqtri 2841 . 2 (∅ ∪ 𝑋) = 𝑋
1511, 14syl6eq 2869 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴) → (∅ + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cun 3931  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  Atomscatm 36279  +𝑃cpadd 36811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-padd 36812
This theorem is referenced by:  paddasslem17  36852  pmodlem2  36863  pmapjat1  36869  osumclN  36983  pexmidALTN  36994
  Copyright terms: Public domain W3C validator