Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddass Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Projective subspace sum is associative. Equation 16.2.1 of [MaedaMaeda] p. 68. In our version, the subspaces do not have to be nonempty. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddass ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddass
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr3 1089 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
3 simpr2 1088 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
4 simpr1 1087 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
75, 6paddasslem18 35441 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
9 hllat 34968 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
105, 6paddcom 35417 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
119, 10syl3an1 1399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12113adant3r3 1297 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
1312oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
145, 6paddssat 35418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
151, 3, 4, 14syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
165, 6paddcom 35417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
179, 16syl3an1 1399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
181, 15, 2, 17syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
1913, 18eqtrd 2685 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
205, 6paddcom 35417 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
219, 20syl3an1 1399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
22213adant3r1 1295 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
2322oveq2d 6706 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)))
245, 6paddssat 35418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
251, 2, 3, 24syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
265, 6paddcom 35417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
279, 26syl3an1 1399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
281, 4, 25, 27syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
2923, 28eqtrd 2685 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
308, 19, 293sstr4d 3681 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
315, 6paddasslem18 35441 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
3230, 31eqssd 3653 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  +𝑃cpadd 35399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-padd 35400 This theorem is referenced by:  padd12N  35443  padd4N  35444  pmodl42N  35455  pmapjlln1  35459
 Copyright terms: Public domain W3C validator