Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem14 36849
Description: Lemma for paddass 36854. Remove 𝑝𝑧, 𝑥𝑦, and ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) from antecedent of paddasslem10 36845, using paddasslem11 36846, paddasslem12 36847, and paddasslem13 36848. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddasslem11 36846 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ 𝑧𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
653ad2antr3 1182 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
76ex 413 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
87adantrd 492 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
98a1d 25 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
109exp31 420 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑝 = 𝑧 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
11 3simpb 1141 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦))
12113anim1i 1144 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)))
13 3simpc 1142 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → (𝑦𝑌𝑧𝑍))
1413anim1i 614 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ((𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))))
151, 2, 3, 4paddasslem12 36847 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
1612, 14, 15syl2an 595 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
17163exp1 1344 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
18173expia 1113 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
19 3simpa 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧))
20193anim1i 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)))
21 3simpa 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → (𝑥𝑋𝑦𝑌))
22 3simpa 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))
2321, 22anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))))
241, 2, 3, 4paddasslem13 36848 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2520, 23, 24syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2625expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
27263expd 1345 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
281, 2, 3, 4paddasslem10 36845 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2928expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
30293expd 1345 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
3127, 30pm2.61d 180 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
3231impd 411 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
3332expimpd 454 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
34333exp 1111 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
35343expia 1113 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → (𝑥𝑦 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
3618, 35pm2.61dne 3100 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
3736ex 413 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑝𝑧 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
3810, 37pm2.61dne 3100 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
39383imp1 1339 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  lecple 16560  joincjn 17542  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  +𝑃cpadd 36811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-padd 36812
This theorem is referenced by:  paddasslem15  36850
  Copyright terms: Public domain W3C validator