Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem14 35437
Description: Lemma for paddass 35442. Remove 𝑝𝑧, 𝑥𝑦, and ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) from antecedent of paddasslem10 35433, using paddasslem11 35434, paddasslem12 35435, and paddasslem13 35436. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddasslem11 35434 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ 𝑧𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
653ad2antr3 1248 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
76ex 449 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
87adantrd 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
98a1d 25 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
109exp31 629 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑝 = 𝑧 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
11 3simpb 1079 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦))
12113anim1i 1267 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)))
13 3simpc 1080 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → (𝑦𝑌𝑧𝑍))
1413anim1i 591 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ((𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))))
151, 2, 3, 4paddasslem12 35435 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
1612, 14, 15syl2an 493 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
17163exp1 1305 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
18173expia 1286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
19 3simpa 1078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧))
20193anim1i 1267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)))
21 3simpa 1078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → (𝑥𝑋𝑦𝑌))
22 3simpa 1078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))
2321, 22anim12i 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))))
241, 2, 3, 4paddasslem13 35436 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2520, 23, 24syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2625expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
27263expd 1306 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
281, 2, 3, 4paddasslem10 35433 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2928expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
30293expd 1306 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
3127, 30pm2.61d 170 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
3231impd 446 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
3332expimpd 628 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
34333exp 1283 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
35343expia 1286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → (𝑥𝑦 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
3618, 35pm2.61dne 2909 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
3736ex 449 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑝𝑧 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
3810, 37pm2.61dne 2909 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
39383imp1 1302 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  +𝑃cpadd 35399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-padd 35400
This theorem is referenced by:  paddasslem15  35438
  Copyright terms: Public domain W3C validator