Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem17 33923
Description: Lemma for paddass 33925. The case when at least one sum argument is empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem17
StepHypRef Expression
1 ianor 507 . . . 4 (¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ↔ (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∨ ¬ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)))
2 ianor 507 . . . . . 6 (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ↔ (¬ 𝑋 ≠ ∅ ∨ ¬ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅))
3 nne 2785 . . . . . . 7 𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
4 nne 2785 . . . . . . 7 (¬ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅ ↔ (𝑌 + 𝑍) = ∅)
53, 4orbi12i 541 . . . . . 6 ((¬ 𝑋 ≠ ∅ ∨ ¬ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ (𝑌 + 𝑍) = ∅))
62, 5bitri 262 . . . . 5 (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ (𝑌 + 𝑍) = ∅))
7 ianor 507 . . . . . 6 (¬ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝑌 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝑍 ≠ ∅))
8 nne 2785 . . . . . . 7 𝑌 ≠ ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
9 nne 2785 . . . . . . 7 𝑍 ≠ ∅ ↔ 𝑍 = ∅)
108, 9orbi12i 541 . . . . . 6 ((¬ 𝑌 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝑍 ≠ ∅) ↔ (𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅))
117, 10bitri 262 . . . . 5 (¬ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅) ↔ (𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅))
126, 11orbi12i 541 . . . 4 ((¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∨ ¬ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ↔ ((𝑋 = ∅ ∨ (𝑌 + 𝑍) = ∅) ∨ (𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅)))
131, 12bitri 262 . . 3 (¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ↔ ((𝑋 = ∅ ∨ (𝑌 + 𝑍) = ∅) ∨ (𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅)))
14 paddass.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 paddass.p . . . . . . . . . . 11 + = (+𝑃𝐾)
1614, 15paddssat 33901 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
17163adant3r1 1265 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
1814, 15padd02 33899 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + 𝑍))
1917, 18syldan 485 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (∅ + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + 𝑍))
2014, 15padd02 33899 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
21203ad2antr2 1219 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
2221oveq1d 6541 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((∅ + 𝑌) + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍))
2319, 22eqtr4d 2646 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (∅ + (𝑌 + 𝑍)) = ((∅ + 𝑌) + 𝑍))
24 oveq1 6533 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (∅ + (𝑌 + 𝑍)))
25 oveq1 6533 . . . . . . . . 9 (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
2625oveq1d 6541 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((∅ + 𝑌) + 𝑍))
2724, 26eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ↔ (∅ + (𝑌 + 𝑍)) = ((∅ + 𝑌) + 𝑍)))
2823, 27syl5ibrcom 235 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
29 eqimss 3619 . . . . . 6 ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
3028, 29syl6 34 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
3114, 15padd01 33898 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
32313ad2antr1 1218 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
3314, 15sspadd1 33902 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
34333adant3r3 1267 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
35 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3614, 15paddssat 33901 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
37363adant3r3 1267 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
38 simpr3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
3914, 15sspadd1 33902 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4035, 37, 38, 39syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4134, 40sstrd 3577 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋 ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4232, 41eqsstrd 3601 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + ∅) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
43 oveq2 6534 . . . . . . 7 ((𝑌 + 𝑍) = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + ∅))
4443sseq1d 3594 . . . . . 6 ((𝑌 + 𝑍) = ∅ → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ↔ (𝑋 + ∅) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
4542, 44syl5ibrcom 235 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 + 𝑍) = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
4630, 45jaod 393 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 = ∅ ∨ (𝑌 + 𝑍) = ∅) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
4714, 15padd02 33899 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴) → (∅ + 𝑍) = 𝑍)
48473ad2antr3 1220 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (∅ + 𝑍) = 𝑍)
4948oveq2d 6542 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (∅ + 𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
5032oveq1d 6541 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + ∅) + 𝑍) = (𝑋 + 𝑍))
5149, 50eqtr4d 2646 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (∅ + 𝑍)) = ((𝑋 + ∅) + 𝑍))
52 oveq1 6533 . . . . . . . . 9 (𝑌 = ∅ → (𝑌 + 𝑍) = (∅ + 𝑍))
5352oveq2d 6542 . . . . . . . 8 (𝑌 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (∅ + 𝑍)))
54 oveq2 6534 . . . . . . . . 9 (𝑌 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + ∅))
5554oveq1d 6541 . . . . . . . 8 (𝑌 = ∅ → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + ∅) + 𝑍))
5653, 55eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ↔ (𝑋 + (∅ + 𝑍)) = ((𝑋 + ∅) + 𝑍)))
5751, 56syl5ibrcom 235 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
5814, 15padd01 33898 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 + ∅) = 𝑌)
59583ad2antr2 1219 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + ∅) = 𝑌)
6059oveq2d 6542 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + ∅)) = (𝑋 + 𝑌))
6114, 15padd01 33898 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 + 𝑌) + ∅) = (𝑋 + 𝑌))
6237, 61syldan 485 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + ∅) = (𝑋 + 𝑌))
6360, 62eqtr4d 2646 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + ∅)) = ((𝑋 + 𝑌) + ∅))
64 oveq2 6534 . . . . . . . . 9 (𝑍 = ∅ → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + ∅))
6564oveq2d 6542 . . . . . . . 8 (𝑍 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (𝑌 + ∅)))
66 oveq2 6534 . . . . . . . 8 (𝑍 = ∅ → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌) + ∅))
6765, 66eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑍 = ∅ → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ↔ (𝑋 + (𝑌 + ∅)) = ((𝑋 + 𝑌) + ∅)))
6863, 67syl5ibrcom 235 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
6957, 68jaod 393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
7069, 29syl6 34 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
7146, 70jaod 393 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑋 = ∅ ∨ (𝑌 + 𝑍) = ∅) ∨ (𝑌 = ∅ ∨ 𝑍 = ∅)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
7213, 71syl5bi 230 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
73723impia 1252 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  c0 3873  cfv 5789  (class class class)co 6526  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  +𝑃cpadd 33882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-padd 33883
This theorem is referenced by:  paddasslem18  33924
  Copyright terms: Public domain W3C validator