Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem18 33924
Description: Lemma for paddass 33925. Combine paddasslem16 33922 and paddasslem17 33923. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2609 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 paddass.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddass.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddasslem16 33922 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
653expa 1256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
73, 4paddasslem17 33923 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
873expa 1256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ ¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
96, 8pm2.61dan 827 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  c0 3873  cfv 5789  (class class class)co 6526  lecple 15723  joincjn 16715  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  +𝑃cpadd 33882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-lat 16817  df-clat 16879  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-padd 33883
This theorem is referenced by:  paddass  33925
  Copyright terms: Public domain W3C validator