Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddatclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddatclN 36965
Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddatcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p + = (+𝑃𝐾)
paddatcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddatclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN
StepHypRef Expression
1 hlclat 36374 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
213ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3 paddatcl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddatcl.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 36957 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋𝐴)
6 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 3atssbase 36306 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
85, 7sstrdi 3976 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
983adant3 1124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10 eqid 2818 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
116, 10clatlubcl 17710 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
122, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13 eqid 2818 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 eqid 2818 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15 paddatcl.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
166, 13, 3, 14, 15pmapjat1 36869 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
1712, 16syld3an2 1403 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
1810, 14, 4pmapidclN 36958 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19183adant3 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
203, 14pmapat 36779 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21203adant2 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
2219, 21oveq12d 7163 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
2317, 22eqtr2d 2854 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24 simp1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25 hllat 36379 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26253ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
276, 3atbase 36305 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28273ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
296, 13latjcl 17649 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3026, 12, 28, 29syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
316, 14, 4pmapsubclN 36962 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
3224, 30, 31syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
3323, 32eqeltrd 2910 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lubclub 17540  joincjn 17542  Latclat 17643  CLatccla 17705  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  +𝑃cpadd 36811  PSubClcpscN 36950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-polarityN 36919  df-psubclN 36951
This theorem is referenced by:  pclfinclN  36966  osumcllem9N  36980  pexmidlem6N  36991
  Copyright terms: Public domain W3C validator