Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddcom 33916
Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncom 3714 . . . 4 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
3 simpl1 1056 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1057 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑋𝐴)
5 simprl 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞𝑋)
64, 5sseldd 3564 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞𝐴)
7 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 padd0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33393 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl3 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑌𝐴)
12 simprr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟𝑌)
1311, 12sseldd 3564 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟𝐴)
147, 8atbase 33393 . . . . . . . . 9 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
177, 16latjcom 16824 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
183, 10, 15, 17syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
1918breq2d 4585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20192rexbidva 3033 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21 rexcom 3075 . . . . 5 (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
2220, 21syl6bb 274 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
2322rabbidv 3159 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
242, 23uneq12d 3725 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25 eqid 2605 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
2725, 16, 8, 26paddval 33901 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
2825, 16, 8, 26paddval 33901 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29283com23 1262 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
3024, 27, 293eqtr4d 2649 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  {crab 2895  cun 3533  wss 3535   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  lecple 15717  joincjn 16709  Latclat 16810  Atomscatm 33367  +𝑃cpadd 33898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-lub 16739  df-join 16741  df-lat 16811  df-ats 33371  df-padd 33899
This theorem is referenced by:  paddass  33941  padd12N  33942  pmod2iN  33952  pmodN  33953  pmapjat2  33957
  Copyright terms: Public domain W3C validator