Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddcom 36829
Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncom 4126 . . . 4 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
3 simpl1 1183 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑋𝐴)
5 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞𝑋)
64, 5sseldd 3965 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞𝐴)
7 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 padd0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 36305 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl3 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑌𝐴)
12 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟𝑌)
1311, 12sseldd 3965 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟𝐴)
147, 8atbase 36305 . . . . . . . . 9 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
177, 16latjcom 17657 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
183, 10, 15, 17syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
1918breq2d 5069 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20192rexbidva 3296 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21 rexcom 3352 . . . . 5 (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
2220, 21syl6bb 288 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
2322rabbidv 3478 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
242, 23uneq12d 4137 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25 eqid 2818 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
2725, 16, 8, 26paddval 36814 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
2825, 16, 8, 26paddval 36814 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29283com23 1118 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
3024, 27, 293eqtr4d 2863 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139  cun 3931  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  Latclat 17643  Atomscatm 36279  +𝑃cpadd 36811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-lub 17572  df-join 17574  df-lat 17644  df-ats 36283  df-padd 36812
This theorem is referenced by:  paddass  36854  padd12N  36855  pmod2iN  36865  pmodN  36866  pmapjat2  36870
  Copyright terms: Public domain W3C validator