Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss 35634
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss 3930 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddss.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddss.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem paddss
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝐾𝐵)
2 simpr1 1234 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑋𝐴)
3 simpr2 1236 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑌𝐴)
4 paddss.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 paddss.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
64, 5psubssat 35543 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
763ad2antr3 1206 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑍𝐴)
8 paddss.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssw1 35632 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
101, 2, 3, 7, 9syl13anc 1479 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
115, 8paddidm 35630 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
12113ad2antr3 1206 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
1312sseq2d 3774 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑍 + 𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
1410, 13sylibd 229 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
154, 8paddssw2 35633 . . 3 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
161, 2, 3, 7, 15syl13anc 1479 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
1714, 16impbid 202 1 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → ((𝑋𝑍𝑌𝑍) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  Atomscatm 35053  PSubSpcpsubsp 35285  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-psubsp 35292  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  pmodlem1  35635  pclunN  35687  osumcllem1N  35745
  Copyright terms: Public domain W3C validator