Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddunN 34027
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 6092.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddun.p + = (+𝑃𝐾)
paddun.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddunN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))

Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 paddun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 paddun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddssat 33914 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴)
52, 3paddunssN 33908 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ (𝑆 + 𝑇))
6 paddun.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
72, 6polcon3N 34017 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑆𝑇) ⊆ (𝑆 + 𝑇)) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆𝑇)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1317 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆𝑇)))
9 hlclat 33459 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1093ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
11 unss 3748 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
1211biimpi 204 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
13123adant1 1071 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴)
14 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 2atssbase 33391 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
1613, 15syl6ss 3579 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆𝑇) ⊆ (Base‘𝐾))
17 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
1814, 17clatlubcl 16881 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆𝑇) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1910, 16, 18syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2609 . . . . . . . 8 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
2114, 20pmapssbaN 33860 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾))
221, 19, 21syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾))
232, 6polssatN 34008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( 𝑆) ⊆ 𝐴)
24233adant3 1073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑆) ⊆ 𝐴)
252, 6polssatN 34008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴)
261, 24, 25syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴)
272, 6polssatN 34008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( 𝑇) ⊆ 𝐴)
28273adant2 1072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( 𝑇) ⊆ 𝐴)
292, 6polssatN 34008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴)
301, 28, 29syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴)
311, 26, 303jca 1234 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴))
322, 62polssN 34015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
33323adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
342, 62polssN 34015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
35343adant2 1072 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
3633, 35jca 552 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇))))
372, 3paddss12 33919 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑇)) ⊆ 𝐴) → ((𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇))) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇)))))
3831, 36, 37sylc 62 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇))))
3917, 2, 20, 62polvalN 34014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
40393adant3 1073 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑆)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)))
4117, 2, 20, 62polvalN 34014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))
42413adant2 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( 𝑇)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇)))
4340, 42oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( ‘( 𝑆)) + ( ‘( 𝑇))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
4438, 43sseqtrd 3603 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))))
45 hllat 33464 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46453ad2ant1 1074 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
47 simp2 1054 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆𝐴)
4847, 15syl6ss 3579 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
4914, 17clatlubcl 16881 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5010, 48, 49syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
51 simp3 1055 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇𝐴)
5251, 15syl6ss 3579 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
5314, 17clatlubcl 16881 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
5410, 52, 53syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
55 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5614, 55, 20, 3pmapjoin 33952 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5746, 50, 54, 56syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑆)) + ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5844, 57sstrd 3577 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
5914, 55, 17lubun 16892 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
6010, 48, 52, 59syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)) = (((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇)))
6160fveq2d 6092 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑆)(join‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑇))))
6258, 61sseqtr4d 3604 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
63 eqid 2609 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6414, 63, 17lubss 16890 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
6510, 22, 62, 64syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))
664, 15syl6ss 3579 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 + 𝑇) ⊆ (Base‘𝐾))
6714, 17clatlubcl 16881 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
6810, 66, 67syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
6914, 17clatlubcl 16881 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
7010, 22, 69syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
7114, 63, 20pmaple 33861 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))))
721, 68, 70, 71syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇)))))))
7365, 72mpbid 220 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))))
7417, 2, 20, 62polvalN 34014 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))))
751, 4, 74syl2anc 690 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆 + 𝑇))))
7617, 2, 20, 62polvalN 34014 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
771, 13, 76syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
7817, 2, 202pmaplubN 34026 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
791, 13, 78syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))
8077, 79eqtr4d 2646 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘(𝑆𝑇))))))
8173, 75, 803sstr4d 3610 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))))
822, 62polcon4bN 34018 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 + 𝑇) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐴) → (( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) ↔ ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇))))
831, 4, 13, 82syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (( ‘( ‘(𝑆 + 𝑇))) ⊆ ( ‘( ‘(𝑆𝑇))) ↔ ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇))))
8481, 83mpbid 220 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆𝑇)) ⊆ ( ‘(𝑆 + 𝑇)))
858, 84eqssd 3584 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → ( ‘(𝑆 + 𝑇)) = ( ‘(𝑆𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  lubclub 16711  joincjn 16713  Latclat 16814  CLatccla 16876  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  pmapcpmap 33597  +𝑃cpadd 33895  𝑃cpolN 34002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-polarityN 34003
This theorem is referenced by:  poldmj1N  34028
  Copyright terms: Public domain W3C validator