MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvf 25037
Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvf 𝐽:ℙ⟶𝐴
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝐴   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvf
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 11632 . . . 4 ℚ ∈ V
21mptex 6368 . . 3 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))) ∈ V
3 padic.j . . 3 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
42, 3fnmpti 5921 . 2 𝐽 Fn ℙ
53padicfval 25022 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)))))
6 prmnn 15172 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
76ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℕ)
87nncnd 10883 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
97nnne0d 10912 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑝 ≠ 0)
10 df-ne 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = 0)
11 pcqcl 15345 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
1211anassrs 677 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
1310, 12sylan2br 491 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
148, 9, 13expnegd 12832 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
158, 9, 13exprecd 12833 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)) = (1 / (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
1614, 15eqtr4d 2646 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)) = ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))
1716ifeq2da 4066 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
1817mpteq2dva 4666 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑝↑-(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
195, 18eqtrd 2643 . . . 4 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))))
206nnrecred 10913 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ ℝ)
216nnred 10882 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
22 prmgt1 15193 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
23 recgt1i 10769 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝) → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2421, 22, 23syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → (0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
2524simpld 473 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 0 < (1 / 𝑝))
2624simprd 477 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) < 1)
27 0xr 9942 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
28 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2928rexri 9948 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
30 elioo2 12043 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1)))
3127, 29, 30mp2an 703 . . . . . 6 ((1 / 𝑝) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / 𝑝) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑝) ∧ (1 / 𝑝) < 1))
3220, 25, 26, 31syl3anbrc 1238 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1))
33 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
34 qabsabv.a . . . . . 6 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
35 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥))))
3633, 34, 35padicabv 25036 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (1 / 𝑝) ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
3732, 36mpdan 698 . . . 4 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, ((1 / 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑥)))) ∈ 𝐴)
3819, 37eqeltrd 2687 . . 3 (𝑝 ∈ ℙ → (𝐽𝑝) ∈ 𝐴)
3938rgen 2905 . 2 𝑝 ∈ ℙ (𝐽𝑝) ∈ 𝐴
40 ffnfv 6280 . 2 (𝐽:ℙ⟶𝐴 ↔ (𝐽 Fn ℙ ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝐽𝑝) ∈ 𝐴))
414, 39, 40mpbir2an 956 1 𝐽:ℙ⟶𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929   < clt 9930  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  cz 11210  cq 11620  (,)cioo 12002  cexp 12677  cprime 15169   pCnt cpc 15325  s cress 15642  AbsValcabv 18585  fldccnfld 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-subg 17360  df-cmn 17964  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-cnfld 19514
This theorem is referenced by:  ostth  25045
  Copyright terms: Public domain W3C validator