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Theorem pcdvdsb 15795
Description: 𝑃𝐴 divides 𝑁 if and only if 𝐴 is at most the count of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcdvdsb ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pcdvdsb
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
21breq2d 4816 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
3 breq2 4808 . . 3 (𝑁 = 0 → ((𝑃𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝐴) ∥ 0))
42, 3bibi12d 334 . 2 (𝑁 = 0 → ((𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁) ↔ (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0) ↔ (𝑃𝐴) ∥ 0)))
5 simpl3 1232 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
65nn0zd 11692 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 simpl2 1230 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
10 pczcl 15775 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
117, 8, 9, 10syl12anc 1475 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11692 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
13 eluz 11913 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ𝐴) ↔ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
146, 12, 13syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ𝐴) ↔ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
15 prmnn 15610 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
167, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
1716nnzd 11693 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℤ)
18 dvdsexp 15271 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
19183expia 1115 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
2017, 5, 19syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ (ℤ𝐴) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
2114, 20sylbird 250 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
22 pczdvds 15789 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
237, 8, 9, 22syl12anc 1475 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
24 nnexpcl 13087 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
2515, 24sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
26253adant2 1126 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
2726nnzd 11693 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
2827adantr 472 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
2916, 11nnexpcld 13244 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
3029nnzd 11693 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
31 dvdstr 15240 . . . . . 6 (((𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
3228, 30, 8, 31syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
3323, 32mpan2d 712 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃𝐴) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) → (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
3421, 33syld 47 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
35 nn0re 11513 . . . . . . 7 ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
36 nn0re 11513 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
37 ltnle 10329 . . . . . . 7 (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
3835, 36, 37syl2an 495 . . . . . 6 (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁)))
39 nn0ltp1le 11647 . . . . . 6 (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) < 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
4038, 39bitr3d 270 . . . . 5 (((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
4111, 5, 40syl2anc 696 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
42 peano2nn0 11545 . . . . . . . . 9 ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4311, 42syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11692 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
45 eluz 11913 . . . . . . 7 ((((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
4644, 6, 45syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴))
47 dvdsexp 15271 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1))) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴))
48473expia 1115 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴)))
4917, 43, 48syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴)))
5046, 49sylbird 250 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴 → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴)))
51 pczndvds 15791 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁)
527, 8, 9, 51syl12anc 1475 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁)
5316, 43nnexpcld 13244 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
5453nnzd 11693 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
55 dvdstr 15240 . . . . . . . 8 (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴) ∧ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁))
5654, 28, 8, 55syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴) ∧ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁) → (𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ 𝑁))
5752, 56mtod 189 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ ((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴) ∧ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
58 imnan 437 . . . . . 6 (((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴) → ¬ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁) ↔ ¬ ((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴) ∧ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
5957, 58sylibr 224 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃↑((𝑃 pCnt 𝑁) + 1)) ∥ (𝑃𝐴) → ¬ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
6050, 59syld 47 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝑃 pCnt 𝑁) + 1) ≤ 𝐴 → ¬ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
6141, 60sylbid 230 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) → ¬ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
6234, 61impcon4bid 217 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
63363ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
6463rexrd 10301 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
65 pnfge 12177 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
6664, 65syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ +∞)
67 pc0 15781 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
68673ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
6966, 68breqtrrd 4832 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0))
70 dvds0 15219 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℤ → (𝑃𝐴) ∥ 0)
7127, 70syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∥ 0)
7269, 712thd 255 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 0) ↔ (𝑃𝐴) ∥ 0))
734, 62, 72pm2.61ne 3017 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt 𝑁) ↔ (𝑃𝐴) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  cexp 13074  cdvds 15202  cprime 15607   pCnt cpc 15763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764
This theorem is referenced by:  pcelnn  15796  pcidlem  15798  pcdvdstr  15802  pcgcd1  15803  pcfac  15825  pockthlem  15831  pockthg  15832  prmreclem2  15843  sylow1lem1  18233  sylow1lem3  18235  sylow1lem5  18237  ablfac1c  18690  ablfac1eu  18692  issqf  25082  vmasum  25161
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