MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 15485
Description: Lemma for pceu 15486. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
pceu.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
Assertion
Ref Expression
pceulem (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
21simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ∈ ℕ)
32nncnd 10988 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
54simpld 475 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
65zcnd 11435 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
73, 6mulcomd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
108, 9eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
114simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑡 ∈ ℕ)
1211nncnd 10988 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ∈ ℂ)
131simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑥 ∈ ℤ)
1413zcnd 11435 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑥 ∈ ℂ)
1511nnne0d 11017 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ≠ 0)
162nnne0d 11017 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ≠ 0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 10799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
1810, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
197, 18eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
2019breq2d 4630 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2120rabbidv 3180 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑧 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑧))
2322breq1d 4628 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
2423cbvrabv 3188 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
2522breq1d 4628 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2625cbvrabv 3188 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
2721, 24, 263eqtr4g 2680 . . . 4 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
2827supeq1d 8304 . . 3 (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
302nnzd 11433 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ℤ)
31 pceu.6 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
3212, 15div0d 10752 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
33 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
3433eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
368eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
3735, 36sylibrd 249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
3837necon3d 2811 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑠 ≠ 0)
40 pcval.2 . . . . 5 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
41 pceu.3 . . . . 5 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
42 eqid 2621 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
4340, 41, 42pcpremul 15483 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1332 . . 3 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
453, 16div0d 10752 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
46 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
4746eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
499eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
5048, 49sylibrd 249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
5150necon3d 2811 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑥 ≠ 0)
5311nnzd 11433 . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
54 pcval.1 . . . . 5 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
55 pceu.4 . . . . 5 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
56 eqid 2621 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
5754, 55, 56pcpremul 15483 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1332 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2665 . 2 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
60 prmuz2 15343 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
62 eqid 2621 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}
6362, 40pcprecl 15479 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑦))
6463simpld 475 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 1321 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11305 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
67 eqid 2621 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}
6867, 41pcprecl 15479 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ 𝑠))
6968simpld 475 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 1321 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 11305 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
72 eqid 2621 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}
7372, 54pcprecl 15479 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑥))
7473simpld 475 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 1321 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 11305 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
77 eqid 2621 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}
7877, 55pcprecl 15479 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑉) ∥ 𝑡))
7978simpld 475 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 1321 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11305 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 10395 . 2 (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉)))
8359, 82mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8298  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  cexp 12808  cdvds 14918  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  pceu  15486
  Copyright terms: Public domain W3C validator