MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcidlem 15500
Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcidlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 15312 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 12970 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
61, 5pccld 15479 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 11296 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
87leidd 10538 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
95nnzd 11425 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
10 pcdvdsb 15497 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
111, 9, 6, 10syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
128, 11mpbid 222 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴))
133, 6nnexpcld 12970 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℕ)
1413nnzd 11425 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
15 dvdsle 14956 . . . . 5 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1614, 5, 15syl2anc 692 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1712, 16mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴))
183nnred 10979 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
196nn0zd 11424 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℤ)
20 nn0z 11344 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 prmuz2 15332 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
231, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
24 eluz2b1 11703 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
2524simprbi 480 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
2623, 25syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
2718, 19, 21, 26leexp2d 12979 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
2817, 27mpbird 247 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴)
29 iddvds 14919 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℤ → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
309, 29syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
31 pcdvdsb 15497 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
321, 9, 4, 31syl3anc 1323 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
3330, 32mpbird 247 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
34 nn0re 11245 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3534adantl 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
367, 35letri3d 10123 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))))
3728, 33, 36mpbir2and 956 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  cexp 12800  cdvds 14907  cprime 15309   pCnt cpc 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466
This theorem is referenced by:  pcid  15501  pcmpt  15520  dvdsppwf1o  24812
  Copyright terms: Public domain W3C validator