Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0N 35526
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pcl0.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pcl0N (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)

Proof of Theorem pcl0N
StepHypRef Expression
1 0ss 4005 . . . 4 ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . . 5 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
4 pcl0.c . . . . 5 𝑈 = (PCl‘𝐾)
52, 3, 4pclss2polN 35525 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)))
61, 5mpan2 707 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)))
732pol0N 35515 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘∅)) = ∅)
86, 7sseqtrd 3674 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ⊆ ∅)
9 ss0 4007 . 2 ((𝑈‘∅) ⊆ ∅ → (𝑈‘∅) = ∅)
108, 9syl 17 1 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  c0 3948  cfv 5926  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  PClcpclN 35491  𝑃cpolN 35506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-pclN 35492  df-polarityN 35507
This theorem is referenced by:  pcl0bN  35527  pclfinclN  35554
  Copyright terms: Public domain W3C validator