Theorem pcl0bN 37053

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pcl0b.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pcl0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
3	1, 2	pclssidN 37025	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ⊆ (𝑈‘𝑃))
4		eqimss 4022	. . . 4 ⊢ ((𝑈‘𝑃) = ∅ → (𝑈‘𝑃) ⊆ ∅)
5	3, 4	sylan9ss 3979	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 ⊆ ∅)
6		ss0 4351	. . 3 ⊢ (𝑃 ⊆ ∅ → 𝑃 = ∅)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 = ∅)
8		fveq2 6664	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑈‘𝑃) = (𝑈‘∅))
9	2	pcl0N 37052	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	sylan9eqr 2878	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
11	10	adantlr 713	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
12	7, 11	impbida 799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ‘cfv 6349  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  PClcpclN 37017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-undef 7933  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-pclN 37018  df-polarityN 37033

This theorem is referenced by:  pclfinclN  37080