Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclcmpatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclcmpatN 35690
 Description: The set of projective subspaces is compactly atomistic: if an atom is in the projective subspace closure of a set of atoms, it also belongs to the projective subspace closure of a finite subset of that set. Analogous to Lemma 3.3.10 of [PtakPulmannova] p. 74. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclcmpatN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴𝑃 ∈ (𝑈𝑋)) → ∃𝑦 ∈ Fin (𝑦𝑋𝑃 ∈ (𝑈𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑃

Proof of Theorem pclcmpatN
StepHypRef Expression
1 pclfin.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 pclfin.c . . . . . 6 𝑈 = (PCl‘𝐾)
31, 2pclfinN 35689 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
43eleq2d 2825 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑈𝑋) ↔ 𝑃 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
5 eliun 4676 . . . 4 (𝑃 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑃 ∈ (𝑈𝑦))
64, 5syl6bb 276 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑈𝑋) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑃 ∈ (𝑈𝑦)))
7 elin 3939 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
8 elpwi 4312 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
98anim2i 594 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑋))
107, 9sylbi 207 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑋))
1110anim1i 593 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑈𝑦)) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑈𝑦)))
12 anass 684 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑈𝑦)) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦𝑋𝑃 ∈ (𝑈𝑦))))
1311, 12sylib 208 . . . 4 ((𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑈𝑦)) → (𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑦𝑋𝑃 ∈ (𝑈𝑦))))
1413reximi2 3148 . . 3 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑃 ∈ (𝑈𝑦) → ∃𝑦 ∈ Fin (𝑦𝑋𝑃 ∈ (𝑈𝑦)))
156, 14syl6bi 243 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑈𝑋) → ∃𝑦 ∈ Fin (𝑦𝑋𝑃 ∈ (𝑈𝑦))))
16153impia 1110 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴𝑃 ∈ (𝑈𝑋)) → ∃𝑦 ∈ Fin (𝑦𝑋𝑃 ∈ (𝑈𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  ∪ ciun 4672  ‘cfv 6049  Fincfn 8121  Atomscatm 35053  AtLatcal 35054  PClcpclN 35676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-psubsp 35292  df-pclN 35677 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator