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Theorem pclfinN 35707
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 35757. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclfinN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 elin 3939 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3 elpwi 4312 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
43adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
52, 4sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
6 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7 sstr 3752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑋𝑋𝐴) → 𝑦𝐴)
87ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
98adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (PCl‘𝐾)
1310, 11, 12pclclN 35698 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
146, 9, 13syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1510, 11psubssat 35561 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
166, 14, 15syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
1716ex 449 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
185, 17syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
1918ralrimiv 3103 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
20 iunss 4713 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
2119, 20sylibr 224 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
22 eliun 4676 . . . . . . . . 9 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦))
23 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑤))
2423eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈𝑤)))
2524cbvrexv 3311 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
2622, 25bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
27 eliun 4676 . . . . . . . . 9 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦))
28 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑣))
2928eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
3029cbvrexv 3311 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3127, 30bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3226, 31anbi12i 735 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
33 elin 3939 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34 elpwi 4312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋𝑤𝑋)
3534anim2i 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
3633, 35sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
37 elin 3939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38 elpwi 4312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋𝑣𝑋)
3938anim2i 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
4037, 39sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
41 simp2rl 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42 simp12l 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43 unfi 8394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
4441, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
45 simp2rr 1310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝑋)
46 simp12r 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝑋)
4745, 46unssd 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
48 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ∈ V
49 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ∈ V
5048, 49unex 7122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤𝑣) ∈ V
5150elpw 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
5247, 51sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
5344, 52elind 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54 simp11l 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55 simp11r 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
5645, 55sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝐴)
5746, 55sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝐴)
5856, 57unssd 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴)
5910, 11, 12pclclN 35698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
6054, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61 simp3l 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟𝐴)
62 ssun1 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣))
6410, 12pclssN 35701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
6554, 63, 58, 64syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
66 simp2l 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
6765, 66sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
68 ssun2 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣))
7010, 12pclssN 35701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7154, 69, 58, 70syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
72 simp13 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
7371, 72sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
74 simp3r 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7775, 76, 10, 11psubspi2N 35555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7854, 60, 61, 67, 73, 74, 77syl33anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
79 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑈𝑦) = (𝑈‘(𝑤𝑣)))
8079eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))))
8180rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8253, 78, 81syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
83 eliun 4676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8482, 83sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
85843exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) → ((𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
8685exp5c 645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
87863exp 1113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8840, 87syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8988rexlimdv 3168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9089com24 95 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9136, 90syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9291rexlimdv 3168 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
9392impd 446 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9432, 93syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9594ralrimdv 3106 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → ∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
9695ralrimivv 3108 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
9775, 76, 10, 11ispsubsp 35552 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9897adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9921, 96, 98mpbir2and 995 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100 snfi 8205 . . . . . . . . 9 {𝑤} ∈ Fin
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102 snelpwi 5061 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103102adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104101, 103elind 3941 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105 vsnid 4354 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ {𝑤}
106 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107 ssel2 3739 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
108107adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
10910, 11snatpsubN 35557 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110106, 108, 109syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
11111, 12pclidN 35703 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112106, 110, 111syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113105, 112syl5eleqr 2846 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑤} → (𝑈𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115114eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116115rspcev 3449 . . . . . . 7 (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
117104, 113, 116syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
118117ex 449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦)))
119 eliun 4676 . . . . 5 (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
120118, 119syl6ibr 242 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
121120ssrdv 3750 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
122 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
123 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋𝐴)
12410, 12pclssN 35701 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝑋𝑋𝐴) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
1256, 122, 123, 124syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
126125sseld 3743 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
127126ex 449 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
1285, 127syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
129128rexlimdv 3168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
130119, 129syl5bi 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
131130ssrdv 3750 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
13211, 12pclbtwnN 35704 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
1331, 99, 121, 131, 132syl22anc 1478 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
134133eqcomd 2766 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  cun 3713  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   ciun 4672   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  lecple 16170  joincjn 17165  Atomscatm 35071  AtLatcal 35072  PSubSpcpsubsp 35303  PClcpclN 35694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-psubsp 35310  df-pclN 35695
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  35708
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