Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclss2polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclss2polN 34025
Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclss2pol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclss2pol.o = (⊥𝑃𝐾)
pclss2pol.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclss2polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem pclss2polN
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pclss2pol.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclss2pol.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
42, 32polssN 34019 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
52, 3polssatN 34012 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
62, 3polssatN 34012 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
75, 6syldan 485 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
8 pclss2pol.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
92, 8pclssN 33998 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ (𝑈‘( ‘( 𝑋))))
101, 4, 7, 9syl3anc 1317 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ (𝑈‘( ‘( 𝑋))))
11 eqid 2606 . . . . 5 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
122, 11, 3polsubN 34011 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
135, 12syldan 485 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1411, 8pclidN 34000 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘( ‘( 𝑋))) = ( ‘( 𝑋)))
1513, 14syldan 485 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈‘( ‘( 𝑋))) = ( ‘( 𝑋)))
1610, 15sseqtrd 3600 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3536  cfv 5787  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  PSubSpcpsubsp 33600  PClcpclN 33991  𝑃cpolN 34006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-riotaBAD 33057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-undef 7260  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-pclN 33992  df-polarityN 34007
This theorem is referenced by:  pcl0N  34026
  Copyright terms: Public domain W3C validator