Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclunN 35502
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclun.p + = (+𝑃𝐾)
pclun.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclunN ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾𝑉)
2 pclun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddunssN 35412 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
52, 3paddssat 35418 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
6 pclun.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
72, 6pclssN 35498 . . 3 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1366 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
9 unss 3820 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
109biimpi 206 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
11103adant1 1099 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
122, 6pclssidN 35499 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
131, 11, 12syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
14 unss 3820 . . . . . 6 ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
1513, 14sylibr 224 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
16 simp2 1082 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
17 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
18 eqid 2651 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
192, 18, 6pclclN 35495 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
201, 11, 19syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
212, 18, 3paddss 35449 . . . . . 6 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1368 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
2315, 22mpbid 222 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
242, 18psubssat 35358 . . . . 5 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
251, 20, 24syl2anc 694 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
262, 6pclssN 35498 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
271, 23, 25, 26syl3anc 1366 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
2818, 6pclidN 35500 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
291, 20, 28syl2anc 694 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
3027, 29sseqtrd 3674 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
318, 30eqssd 3653 1 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  Atomscatm 34868  PSubSpcpsubsp 35100  +𝑃cpadd 35399  PClcpclN 35491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-psubsp 35107  df-padd 35400  df-pclN 35492
This theorem is referenced by:  pclun2N  35503
  Copyright terms: Public domain W3C validator