Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt2 15770
 Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
42, 3pcmptcl 15768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
54simprd 482 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
8 eluznn 11922 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
96, 7, 8syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
105, 9ffvelrnd 6511 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
1110nnzd 11644 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
1210nnne0d 11228 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
135, 6ffvelrnd 6511 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14 pcdiv 15730 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1468 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 15769 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 15769 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
1917, 18oveq12d 6819 . 2 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2016eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
2120rspcv 3433 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
221, 3, 21sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11516 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2423subidd 10543 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
2524adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (𝐵𝐵) = 0)
26 prmnn 15561 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
271, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2827nnred 11198 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2928adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
306nnred 11198 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
329nnred 11198 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3332adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
34 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑁)
35 eluzle 11863 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
367, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑀)
3736adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁𝑀)
3829, 31, 33, 34, 37letrd 10357 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑀)
3938iftrued 4226 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
40 iftrue 4224 . . . . . 6 (𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4140adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4239, 41oveq12d 6819 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵𝐵))
43 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
4443, 34nsyl3 133 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → ¬ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁))
4544iffalsed 4229 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0) = 0)
4625, 42, 453eqtr4d 2792 . . 3 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
47 iffalse 4227 . . . . . 6 𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 0)
4847oveq2d 6817 . . . . 5 𝑃𝑁 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0))
49 0cn 10195 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
50 ifcl 4262 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5123, 49, 50sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5251subid1d 10544 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
5348, 52sylan9eqr 2804 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
54 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
5554biantrud 529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁)))
5655ifbid 4240 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5753, 56eqtrd 2782 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5846, 57pm2.61dan 867 . 2 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5915, 19, 583eqtrd 2786 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  ifcif 4218   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   · cmul 10104   ≤ cle 10238   − cmin 10429   / cdiv 10847  ℕcn 11183  ℕ0cn0 11455  ℤcz 11540  ℤ≥cuz 11850  seqcseq 12966  ↑cexp 13025  ℙcprime 15558   pCnt cpc 15714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-prm 15559  df-pc 15715 This theorem is referenced by:  pcmptdvds  15771  bposlem6  25184
 Copyright terms: Public domain W3C validator