MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt2 15521
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
42, 3pcmptcl 15519 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
54simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
8 eluznn 11702 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
96, 7, 8syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
105, 9ffvelrnd 6316 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
1110nnzd 11425 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
1210nnne0d 11009 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
135, 6ffvelrnd 6316 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14 pcdiv 15481 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1328 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 15520 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 15520 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
1917, 18oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2016eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
2120rspcv 3291 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
221, 3, 21sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11297 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2423subidd 10324 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
2524adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (𝐵𝐵) = 0)
26 prmnn 15312 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
271, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2827nnred 10979 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
306nnred 10979 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
329nnred 10979 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
34 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑁)
35 eluzle 11644 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
367, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑀)
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁𝑀)
3829, 31, 33, 34, 37letrd 10138 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑀)
3938iftrued 4066 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
40 iftrue 4064 . . . . . 6 (𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4140adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4239, 41oveq12d 6622 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵𝐵))
43 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
4443, 34nsyl3 133 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → ¬ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁))
4544iffalsed 4069 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0) = 0)
4625, 42, 453eqtr4d 2665 . . 3 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
47 iffalse 4067 . . . . . 6 𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 0)
4847oveq2d 6620 . . . . 5 𝑃𝑁 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0))
49 0cn 9976 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
50 ifcl 4102 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5123, 49, 50sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5251subid1d 10325 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
5348, 52sylan9eqr 2677 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
54 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
5554biantrud 528 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁)))
5655ifbid 4080 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5753, 56eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5846, 57pm2.61dan 831 . 2 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5915, 19, 583eqtrd 2659 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  seqcseq 12741  cexp 12800  cprime 15309   pCnt cpc 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  15522  bposlem6  24914
  Copyright terms: Public domain W3C validator