MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptcl 15522
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3 iftrue 4066 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
43adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
5 prmnn 15315 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6 nnexpcl 12816 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
75, 6sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
84, 7eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
98ex 450 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
11 iffalse 4069 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
12 1nn 10978 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
1311, 12syl6eqel 2706 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1413a1d 25 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1510, 14pm2.61i 176 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1716ralimi2 2944 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
2019fmpt 6339 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
2118, 20sylib 208 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
22 nnuz 11670 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
23 1zzd 11355 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2421ffvelrnda 6317 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
25 nnmulcl 10990 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2625adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2722, 23, 24, 26seqf 12765 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
2821, 27jca 554 1 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ifcif 4060  cmpt 4675  wf 5845  (class class class)co 6607  1c1 9884   · cmul 9888  cn 10967  0cn0 11239  seqcseq 12744  cexp 12803  cprime 15312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-seq 12745  df-exp 12804  df-prm 15313
This theorem is referenced by:  pcmpt  15523  pcmpt2  15524  pcmptdvds  15525  pcprod  15526  1arithlem4  15557  bposlem3  24918  bposlem5  24920  bposlem6  24921
  Copyright terms: Public domain W3C validator