MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptdvds 15378
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nfv 1828 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3 nfcsb1v 3510 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
43nfel1 2760 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
5 csbeq1a 3503 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2667 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
72, 4, 6cbvral 3138 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
81, 7sylib 206 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
9 csbeq1 3497 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑝𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑝 / 𝑛𝐴)
109eleq1d 2667 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
1110rspcv 3273 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
128, 11mpan9 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11197 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴)
14 0le0 10953 . . . . . 6 0 ≤ 0
15 breq2 4577 . . . . . . 7 (𝑝 / 𝑛𝐴 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
16 breq2 4577 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
1715, 16ifboth 4069 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
1813, 14, 17sylancl 692 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
19 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
20 nfcv 2746 . . . . . . . 8 𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)
21 nfv 1828 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑚 ∈ ℙ
22 nfcv 2746 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚
23 nfcv 2746 . . . . . . . . . 10 𝑛
2422, 23, 3nfov 6549 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑚𝑚 / 𝑛𝐴)
25 nfcv 2746 . . . . . . . . 9 𝑛1
2621, 24, 25nfif 4060 . . . . . . . 8 𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1)
27 eleq1 2671 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
28 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
2928, 5oveq12d 6541 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝐴) = (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴))
3027, 29ifbieq1d 4054 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
3120, 26, 30cbvmpt 4667 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
3219, 31eqtri 2627 . . . . . 6 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
338adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
34 pcmpt.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3534adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
36 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
37 pcmptdvds.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
3932, 33, 35, 36, 9, 38pcmpt2 15377 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
4018, 39breqtrrd 4601 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
4140ralrimiva 2944 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
4219, 1pcmptcl 15375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
4342simprd 477 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
44 eluznn 11586 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4534, 37, 44syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4643, 45ffvelrnd 6249 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
4746nnzd 11309 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
4843, 34ffvelrnd 6249 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
49 znq 11620 . . . . 5 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
5047, 48, 49syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
51 pcz 15365 . . . 4 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
5250, 51syl 17 . . 3 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
5341, 52mpbird 245 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
5448nnzd 11309 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
5548nnne0d 10908 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
56 dvdsval2 14766 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
5754, 55, 47, 56syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
5853, 57mpbird 245 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  csb 3494  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cmpt 4633  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   · cmul 9793  cle 9927   / cdiv 10529  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  cq 11616  seqcseq 12614  cexp 12673  cdvds 14763  cprime 15165   pCnt cpc 15321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-prm 15166  df-pc 15322
This theorem is referenced by:  bposlem6  24727
  Copyright terms: Public domain W3C validator