Theorem pcmul 15729

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcmul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcmul

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2748	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < )
2		eqid 2748	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )
3		eqid 2748	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < )
4	1, 2, 3	pcpremul 15721	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
5	1	pczpre 15725	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6	5	3adant3 1124	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
7	2	pczpre 15725	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
8	7	3adant2 1123	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
9	6, 8	oveq12d 6819	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )))
10		zmulcl 11589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	ad2ant2r 800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
12		zcn 11545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	anim1i 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14		zcn 11545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	anim1i 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16		mulne0 10832	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
17	13, 15, 16	syl2an 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
18	11, 17	jca 555	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
19	3	pczpre 15725	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
20	18, 19	sylan2 492	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
21	20	3impb 1107	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
22	4, 9, 21	3eqtr4rd 2793	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  {crab 3042   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  supcsup 8499  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  ℕ₀cn0 11455  ℤcz 11540  ↑cexp 13025   ∥ cdvds 15153  ℙcprime 15558   pCnt cpc 15714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-prm 15559  df-pc 15715

This theorem is referenced by:  pcqmul  15731  pcaddlem  15765  pcmpt  15769  pcfac  15776  pcbc  15777  sylow1lem1  18184  sylow1lem5  18188  mumullem2  25076  chtublem  25106  lgsdi  25229