MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pco0 22737
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pco0 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 9992 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 0le0 11062 . . . 4 0 ≤ 0
3 halfre 11198 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 11200 . . . . 5 0 < (1 / 2)
51, 3, 4ltleii 10112 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
61, 3elicc2i 12189 . . . 4 (0 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
71, 2, 5, 6mpbir3an 1242 . . 3 0 ∈ (0[,](1 / 2))
8 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
108, 9pcoval1 22736 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
117, 10mpan2 706 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘(2 · 0)))
12 2t0e0 11135 . . 3 (2 · 0) = 0
1312fveq2i 6156 . 2 (𝐹‘(2 · 0)) = (𝐹‘0)
1411, 13syl6eq 2671 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  cle 10027   / cdiv 10636  2c2 11022  [,]cicc 12128   Cn ccn 20951  IIcii 22601  *𝑝cpco 22723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-2 11031  df-icc 12132  df-top 20631  df-topon 20648  df-cn 20954  df-pco 22728
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  22742  pcoass  22747  pcorevlem  22749  pcophtb  22752  om1addcl  22756  pi1xfrf  22776  pi1xfr  22778  pi1xfrcnvlem  22779  pi1coghm  22784  connpconn  30960  sconnpht2  30963  cvmlift3lem6  31049
  Copyright terms: Public domain W3C validator